Question

在直线L:X-Y+9=0上任取一点M,过点M作以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的椭圆,当 M在什么位置时,所作椭圆长轴...

在直线L:X-Y+9=0上任取一点M,过点M作以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的椭圆,当
M在什么位置时,所作椭圆长轴最短?并求出椭圆方程.

Answer 1

椭圆长轴就是2a=|MF1|＋|MF2|，作点F1关于直线x－y＋9=0的对称点F'(－9，6)，则此时2a最小，得：(2a)²=(|F2F'|)²=180，则b²=a²－c²=36，得：x²/45＋y²/36=1

Answer 2

由题意，只需a最小即可，根据椭圆定义有2a=MF1+MF2，过F1作关于直线L的对称点F3（-9,6)，连接F2F3交直线于点M，则F2F3最短且等于MF1+MF2，.F2F3的长为6*5^1/2，a=F2F3/2=3*5^1/2.椭圆方程为x^2/45+y^2/36=1

Answer 3

设椭圆的标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1
a^2-b^2=c^2=9
直线上一点(x,x+9)
代入椭圆方程x^2/a^2+(x+9)^2/b^2=1整理得
(2a^2-9)x^2+18a^2x+81a^2-1=0
△=(18a^2)^2+4*(2a^2-9)≥0
解得a≥√(2√7+1)/9

Answer 4

问题转化为求MF1+MF2最小,即先求F1关于直线的对称点F(-9,6),连接FF2与直线相交即M点,则2a=FF2=3*根下5,则椭圆X^2/(45)+y^2/(36)=1

Answer 5

做出点F1关于直线L对称的店F1'，求出其点的坐标为(-9,6)
连接F2F1'，其直线方程为y=-1/2x+3/2
两直线的交点为M,M的坐标为(-5,4)
长轴a=F2F1'/2=3√5，短轴b=6
椭圆的方程为x²/45/+y²/36=1