我想做份初中数学课题课教学设计，能帮助吗？
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专题讲座初中数学中函数课堂教学设计
函数是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，也是初中数学里代数领域的重要内容，它在初中数学中具有较强的综合性。在教学中，学生常常觉得函数抽象深奥，高不可攀，老师也觉得函数难讲，讲了学生也理解不了，理解了也不会解题。事实果真如此难教又难学吗？本文就初中函数教学中三个常见问题，谈谈在教学设计方面一些方法和实践。
一、函数教学中基于数学思想的教学方式的研究
数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。单独教授知识无益于课本的复读，利用数学思想进行教学和学习，才能真正实现数学能力的提高。
数学思想方法是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是形成数学意识和数学能力的桥梁，是灵活运用数学知识、数学技能和数学方法解决有关问题的灵魂。 日本数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一文中曾写道：学生在初中、高中等所接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以，通常是出校门后不到一两年便很快就忘掉了。然而不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等都随时随地发生作用，使他们受益终身。因此，在函数教学中，我们不仅要在教会函数知识上下功夫，而且还应该追求解决问题的“常规方法”——基本函数知识中所蕴含的思想方法，要从数学思想方法的高度进行函数教学。 在函数的教学中，应突出“类比”的思想和“数形结合”的思想。
1 ．注重“类比教学”
不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法， 利用类比的思想进行教学设计实施教学 , 可称为“类比教学” .
在函数教学中我们期望的是通过对前面知识的学习方法的传授，达到对后续知识的学习产生影响，使学生达到举一反三，触类旁通的目的，让学生顺利地由 “ 学会 ” 到 “ 会学 ” ，真正实现 “ 教是为了不教 ” 的目的．
有经验的老师都会发现，初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。因此采用类比的教学方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。是一种既经济又实效的教学方法。下面我就举例说明如何采用类比的方法实现函数的教学。
首先是正比例函数，它是一次函数特例，也是初中数学中的一种简单最基本的函数。但是，我们有些教师却因为正比例函数过于简单，而轻视。匆匆给出概念，然后应用。等到讲到一次函数、反比例函数、二次函数又感到力不从心，学生接受起来概念模糊，性质混乱，解题方法不明确。造成这种困扰的原因是因为忽视正比例函数的基础作用，我们应该借助正比例函数这个最简单的函数载体，把函数研究经典流程完整呈现，正所谓“麻雀虽小，五脏俱全”。再学习其他函数时，在此基础上类比学习，循序渐进，螺旋上升。
《正比例函数》教学流程
（一）环节一：概念的建立
通过对问题的处理用函数 y=200x 来反映燕鸥的行程与时间的对应规律引入新课。学生自觉思考教师提问，共同得出每个问题的函数关系式。引导学生观察以上函数关系式的特点得出正比例函数的描述定义及解析式特点。
（二）环节二 ：函数图象
这个环节是教学的重点，由学生先动手按“列表——描点——连线”的过程画函数 y=2x 和 y= － 2x 的图象，相互交流比较然后教师利用多媒体展示画函数图象的过程并通过比较使学生正确掌握画函数图象的方法。
（三）环节三：探究函数性质
让学生观察函数图象并引导学生通过比较来归纳正比例函数的性质，这个环节是本课的难点，教师要引导学生从图象的形状，从左往右的升降情况，经过的象限及自变量变化时函数值的变化规律。这几个方面来归纳，最终得出正比例函数的性质。
（四）环节四：概念的归纳
将观察、探究出的函数图象的特征、函数的性质等做出系统的归纳。
（五） 环节五： 概念的应用
这个环节主要加深学生对知识点的理解，突出待定系数法的解题方法。
从这五个环节的设定上，大家不难看出，我们在研究一次函数、反比例函数、二次函数的过程也是经历这样的六个环节，所以用类比的教学方式是在降低学生的学习难度，却能提高学习质量，而且程度比较好的学生可以尝试自主学习一次函数、反比例函数、二次函数。
归纳：函数探究的内容与方法
研究的对象 ------ 函数的图象与性质
研究的方法 ------- 画图象、分析图象、探究坐标变化规律、归纳函数性质
关注的问题 ------- 图象的位置、发展趋势、与坐标轴的交点、函数的增减性 ……
类比进行反比例函数的教学
例如 17.1.2 反比例函数的图象和性质教学
具体教学过程如下：
T ：正比例函数 y=6x 的图象是什么形状？
S1 ：通过原点的直线（为将要学习的反比例函数图象作铺垫）
T ：那么反比例函数 的图象会是什么形状呢？我们采用什么办法画呢
S2 ：描点法。
（问题一） T ：我们学习过的一次函数用几点法描画？
S3 ：两点法。
（追问） T ：为什么呢？
S4 ：根据两点确定一条直线。
（追问） T ：你确定反比例函数的图象是直线吗？
S5 ：不能确定。
（追问） T ：因此我们需要描多少点？
S6 ：尽量多些。正负对称 10 — 12 个点比较合适
（问题二） T ：描点法画函数图象的基本步骤？
S7 ：……
T ：对于 我们如何列表取点？
S8 ：……再次突出描点左右对称取点的思维过程。
教师示范了 的图象画法，再让同学们尝试画出 的图象
（问题三） T ：你能比较出 和 的图象有什么共同特征？
S9 ：两只曲线，关于原点对称（双曲线）
（追问） T 结合你的图象和列表 和 之间的不同点？
S10 ： 在一、三象限， 在二、四象限。
（追问） T ：你能猜想 的图象规律吗，注意类比正比例函数的图象规律？
S11 ：当 k>0, 图象过一三象限，当 K<0 ，图象过二、四象限。
（追问） T 请再画一组 的图象，验证你的猜想
（问题四） T ：通过以上的猜想和验证，你能总结出反比例函数图象的位置规律吗？
S12 ：归纳 S13 ：纠错 S14 ：改正
这是本课时的引入部分，教师通过问题串，把反比例函数图象的定义、图象规律与正比例函数图象联系在一起，教师的设计思路就是采用类比的数学思想，让学生通过类比的数学思想，自主的学习反比例函数图象的定义与性质，学得自然，轻松。
T ：能否把反比例函数图象特征总结一下？
类比正比例函数图象的特征：
反比例函数 正比例函数
图象
位置
增减性
T ：你有什么启发？你发现了什么？……
显然是教师采用了类比教学思路的结果，开启了学生思维的大门，找到了学习新知的有效方法与途径。
对于类比推理的研究最具影响的是波利亚．波利亚在他的著作《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学的发现》中，通过对数学史上一些著名猜想的剖析，再现了一些重大发现产生的渊源及过程，认为归纳和类比是两种最基本的猜测方法，并以此为据提出了合情推理的一般模式．认为类比就是某种类型的相似性．通过具体的例子论述了合情推理 ( 归纳、类比 ) 在数学发现和解题方面的作用．他还结合中学数学教学实际呼吁： “ 要教学生猜想，要教合情推理。
因此我也在此呼呼：初中函数要有整体设计的意识，就是上好《正比例函数》，类比学习《一次函数》、《反比例函数》、《一次函数》。
2. 注重“数学结合”的教学
数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的“数形结合”。函数图象就是将变化抽象的函数“拍照”下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。在借助图象研究函数的过程中，我们需要注意以下几点原则：
（ 1 ）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
（ 2 ）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
（ 3 ）注意让学生体会研究具体函数图象规律的方法。初中阶段一般采用两种方法研究函数图象：一是有特殊到一般的归纳法，二是控制参数法。
下面我就具体函数教学过程中如何体现数形结合思想举例说明：
《一次函数的图象》教学设计片断
①猜想一次函数的图象会是什么形状？
②验证：在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象 .
y=3x,y=3x-3,y=-2x,y=-2x-3
③归纳（不完全归纳法）：一次函数的图象是一条直线，当 k>0 时，直线从左到右呈“起飞”状，即呈上升趋势，经过一、三象限；当 k<0 时，直线从左到又呈“降落”状，即呈下降趋势，经过二、四象限 .
④思考：不同的一次函数，他们图象的形状是相同的，但位置却各不相同，那么一次函数的图象的位置与什么有关呢？
⑤确定研究方法。通过学生的观察、思考、交流以及教师的点拨，学生最终得出：一次函数图象的位置与解析式中的待定参数 k 与 b 的取值有关。教师进一步指出：在研究含有两个参数的问题时，要先固定一个，进而能明晰地研究出另一个参数在“数”上的变化，导致“形”上的差异。
⑥进一步观察刚才画的四个一次函数图象，思考： k 相同， b 不同的一次函数图象之间有何关系？ k 不同， b 相同的一次函数图象之间有何关系？
⑦归纳： k 相同， b 不同的一次函数图象相互平行，将直线 y=kx 向上或向下平移 ∣ b ∣个单位可得直线 y=kx+b;k 不同， b 相同的一次函数图象相交于点（ 0 ， b ） .
在这个教学设计中，由于学生明确了函数图象的研究方法，参与了研究过程，因而对于知识的理解是深刻的、牢固的、灵活的，更重要的是学生体验到了一种研究函数图象的一般方法，提高了学生的自主学习能力和思维水平。
二、函数教学过程中几个难点的处理：
作为初中数学中的难点，函数抽象而富于变化，在一线教学中老师普遍认为有以下几个问题是教学中的难点，老师不好讲，学生不好学。下面我具体举一些教学设计给各位老师参考看是如何突破我们教学中的难点的：
1 ．反比例函数的增减性问题。
在反比例函数教学时，反比例函数的增减性是个难点。不仅 k 的正负上反比例函数的增减性和正比例函数的增减性相反，而且自变量的取值范围上有断点。下面我们看看这个教学设计是如何突破难点的？
《反比例函数的性质》教学设计片断
（ 1 ）回顾反比例函数图象特征
（ 2 ）画出反比例函数 图象，并结合图象，思考下列问题 :
（问题一） T ：①当图象上的一个点，沿着第一象限的图象从左向右运动时，点的坐标怎样变化 ? 这说明在第一象限内，当自变量增大时，函数值是怎样变化的？（课件演示点的运动及坐标的变化）
（追问） T ：②当图象上的一个点，沿着第三象限的图象从左向右运动时，点的坐标怎样变化？这说明在第三象限内，当自变量增大时，函数值是怎样变化的？（课件演示点的运动及坐标的变化）
（追问） T: ③当点 A （ x1,y1）在第一象限图象上，点 B( x2,y2) 在第三象限的图象上， x1与 x2的大小关系如何？ y1与 y2呢？此时①②中的结论还成立吗 ?
（问题二） T ：⑶一般的，反比例函数 ，当 k>0 时，随着 x 的增大， y 的值怎样变化呢 ?
（追问） T: ⑷如何用符号语言描述呢？
（追问） T: ⑸你能从解析式出发给出证明吗？
（问题三） T:(6) 你能从 的图象中 y 随 x 的变化是如何增减的吗？
（问题四） T: （ 7 ）画出反比例函数 图象，并结合图象，思考下列问题……
在上面的教学设计中，教师借助几何画板课件，帮助学生形象直观的理解了反比例函数图象的变化规律，发现变化过程中的特殊点的，自然的归纳出反比例函数增减性的性质及自变量的取值范围，并且通过结合符号语言和解析式全方位诠释增减性的意义。学生不但理解而且记忆，而且途径全面，更好的感受到函数的三种表示方法的整体一致性。
2 ．用函数来求解方程（组）、不等式问题
用函数来求解方程（组）、不等式问题比较难教，因为学生会觉得，用函数的方法求方程（组）与不等式解的方法一点也不简单，比以前的方法复杂、繁琐多了，那为什么还要学习呢？如果学生意识不到所学数学知识的价值与意义，势必影响学习效率。
教材安排用函数的观点看方程（组）、不等式，一方面是为了加强数学知识间的横纵联系，体现函数在初中代数中的统领作用；另一方面从函数的角度，由“数”到“形”的对方程（组）、不等式加深认识，从而站在更高的角度上，提高了学生对旧认识的深度。在教学设计中要注意以下几点：
（ 1 ）从“数”与“形”两方面体现函数与方程（组）、不等式的联系
从“数”来看，就是从函数值看，求方程的解，可转化为当函数值为零时，求相应自变量的值；求不等式的解集，就是当函数值大于零（或小于零）时，求对应的自变量的取值范围；求方程组的解，就是当两个函数的函数值相等时，求对应的自变量和函数值 .
从“形”来看，就是从函数图象看，求方程的解，可转化为求函数图象与 x 轴交点的横坐标；求不等式的解集，可转化为求在 x 轴上方（或下方）的图象对应的自变量取值范围（或一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方的部分对应的自变量取值范围）；求方程组的解集，可转化为求两个函数图象交点的横纵坐标。
（ 2 ）抓住数与形的转换点理解函数与方程（组）、不等式的联系
众所周知，函数图象就是点的集合，函数图象上的每一个点的坐标，就是一组自变量与函数值的对应值，因此数与形的转换点就是图象上的点及其坐标。教学中抓住这一转换点，能有效的促进对函数与方程（组）、不等式的关系的理解。
《一次函数与一元一次不等式》教学设计片断
（一）如何解决下面两个问题，并思考这两个问题之间有何关系？
①解不等式： 5x+6>3x+10 ；
②当自变量为 x 何值时，函数 y=2x-4 的值大于 0 ？
归纳：这两个问题实际上是同一个问题，问题①可以转化为问题②求解
（二）你能从函数 y=2x-4 的图象中，发现问题①的解集吗？
为了促进学生的理解，教师可从以下几个方面点拨 :
ⅰ函数值与函数图象上的点的什么是对应的？函数 y=2x-4 的图象上，符合函数值大于 0 的点在哪一部分？
ⅱ这部分点的什么，就是使函数 y=2x-4 的值大于 0 的自变量 x 的取值范围？
归纳：函数 y=2x-4 图象在 x 轴上方的部分所对应的横坐标的取值范围，就是问题①得解集
（三）函数 y=2x-4 图象在 x 轴下方的部分所对应的横坐标的取值范围，是哪个不等式的解集？
（四）你能进一步得到“解不等式 ax+b>0 与“求自变量 x 在什么范围内，一次函数函数 y=ax+b 的值大于 0 ” 有什么关系吗？ 在上面的教学设计中，教师通过引导学生按照“函数值大于 0 →图象上点的纵坐标大于 0 →位于 x 轴上方的点→横坐标的取值范围→自变量的取值范围”的思维脉络，紧扣数与形的结合点，不仅让学生真正理解了函数与不等式的关系，更重要的是使学生真正做到了用数形结合的方法分析问题。
（ 3 ）使学生明确学习函数与方程（组）、不等式的意义。有些学生可能觉得，用函数的方法求方程（组）与不等式解的方法一点也不简单，比以前的方法复杂、繁琐多了，那为什么还要学习呢？如果学生意识不到所学数学知识的价值与意义，势必影响学习效率。因此，在教学中首先应使学生体会到以下两点：
①解方程（组）与解不等式的问题，都可以化归为函数问题，所以函数统率着方程、不等式；
②从函数的角度分析问题的研究方法，对于后续学习有重要作用。
3．自变量的取值范围
自变量的取值范围，是解函数问题的难点和考点。正确求出自变量取值范围，正确理解问题，并化归为解不等式或不等式组。这需要学生掌握函数的思想，不等式的实际应用，全面考虑取值的实际意义。 容易讲的枯燥无趣，最后变成公式化记忆，但学生总是此题会，彼题又错，效果往往不好。我们看这个教学设计，生动活泼而且理解深刻。
八年级 7.2 认识函数（ 2 ）
例 1 等腰三角形 ABC 的周长为 80 ，底边 BC 长为 y ，腰 AB 长为 x ，
求：（ 1 ） y 关于 x 的函数解析式
学生尝试做题
S1 ： y=80-2x
S2 ： x=(80-y)/2
T ：题目是 y 关于 x ，其中关于相当于等于，所以应该写成 y=80-2x
T ：把你的学号作为三角形的腰长，请计算相应的底边 y 值
学生快速的计算
教师在黑板上列出相关的值：
x=0 （教师的学号为 0 ） y=80
x=10 y=60
x=20 y=40
x=30 y=20
x=40 y=0
x=50 y= -20
x=51 y= -22
（问题一） T ： x 表示三角形的腰， y 表示三角形的底边，你看到这组数据有什么话要说么？
S1 ：不能是负与 0 ，所以最后三个不行。
（追问 1 ） T ：能分享你结论的理由么？
S1 ： y 是底边，需要大于 0
T ：自变量的取值需要符合函数的实际意义
这时下面有个同学在悄悄的说，第一个也不行。
（追问 2 ） T ：能说说你的理由么？
S2 ：因为 x 是等腰三角形的腰长，也是大于 0 的。
T ：自变量的取值必须满足自变量的实际意义
这时，课堂中学生都在用质疑的眼神重新观察题目，重新思考，这时教师让学生进行讨论。经过一段时间的讨论，有学生举手了。
S3 ：第 2 、 3 个也不行
（追问 3 ） T ：为什么？
S2 ：不能构成三角形
（问题二） T ：那么 x 能不能任意取呢？
S ：不能
（问题三） T ：那应该从哪几个方面求 x 的取值范围呢？
S1 ： 20<x<40
T ：你解释一下你是怎么想到的？
S1 ：三角形任意两边之和大于第三边
T ：我们一起来梳理此题求 x 的取值范围的方法
教师板书：
求 x 的取值范围
（ 1 ）自变量 x 的实际意义 x>0
T ：刚才同学们考虑到了函数 y 的取值范围，而 y=80-2x ，所以还要考虑与 x 相关的量的意义
板书（ 2 ）与 x 相关的量的意义 y>0
（问题四） T ：除了这两个量还要考虑到什么呢？
S ：三角形任何两边之和大于第三边
板书（ 3 ）在实际情境中满足限制的条件
T ：等腰三角形只要考虑 x+x>y
实际问题——解析式——求函数值——冲突——反思——探究——归纳。
在这里，是第一次求自变量的取值范围，而学生对自变量的取值范围的求解还没有形成一种常规的思路，所以，老师通过实际的操作（ 80cm 长的红丝线），让学生在动手实践中了解腰、底边、底角、顶角、面积等之间的变化情况，然后列出底边与腰长之间的函数解析式，再给定一个自变量（学生学号作为腰长）求出相应的函数值，一方面复习了函数的有关概念——变量、常量、函数，另一方面也让学生学习了列简单问题中的函数解析式，根据函数解析式，已知自变量的值，求相应的函数值，更重要的是通过学号作为三角形的腰长，计算相应的底边 y 值，教师通过递进式提问，让学生在具体的、特殊的数值中发现矛盾，产生冲突，引起进一步探索的求知欲，提问、追问、反问，学生的解释、说理，由特殊到一般，最后总结出求自变量的取值范围的通性通法，有一种水到渠成、一气呵成的气势。
4 ． 实际应用问题
学习函数的主要目的之一就是在复杂的实际生活中建立有效的函数模型，利用函数的知识解决问题。这也是新课标所倡导的学习，因此新教材大力倡导函 数与实际的应用。
对于学生来说，实际应用是个难点。在实际应用问题的教学中注意把握以下
几点：
（ 1 ）切实体现教材设计意图。教材安排有关应用函数解决实际问题的教学活动，其目的
主要有三 : ①进一步训练学生的建模能力；②进一步提高学生数形结合分析问题、解决问题的能力；③使学生体会函数是解决生活实际问题的有效模型，进一步提高学生解决实际问题的能力。在教学设计中要体现以上意图。
（ 2 ）要根据学生实际。对于学生而言，函数已经觉得很难，再用函数解决实际问题，他们会觉得难上加难，因此在教学中要根据学生实际水平，对于难度较大、综合性较强的
问题要通过有效的设计，分步引导，将复杂问题分解为若干个简单问题，步步深入，有易到难的寻求答案。
例 4 A 地有肥料 200 吨， B 地有肥料 300 吨，现要把这些肥料全部运往 C 、 D 两地。如果从 A 地往 C 、 D 两地运送肥料的费用为每吨 20 元和 25 元；从 B 地往 C 、 D 两地运送肥料的费用为每吨 15 元和 24 元 . 现 C 乡需要肥料 240 吨， D 乡需要肥料 260 吨 , 怎样调运总费用最少？最少费用是多少？
分析：本题的难点有三处：难点一是如何让学生想到可用函数解决这类问题；难点二是如何从复杂的数量关系中，列出函数解析式；难点三是如何分析出函数的最小值；难点四是将数学的解还原为实际问题的解决方案。为了突破难点，不妨采用如下的教学设计：
① 画出示意图，帮助学生理解题意
② 调运费用和哪些量有关？这些量有何关系？
这些量是变量还是常量？
（通过这个问题，启发学生发现调用费用是一
个变量，并且与四个变量有关，这四个变量相
互联系，其他变量都可以用另一个变量表示，既然
是和两个变量有关的问题，符合函数特征，利用函
数的图形和性质可以确定最小值）
③ 设总运费为 y ， A 地运往 C 地的肥料量为 x ，填充下表：
y= ________+ ________+ ________+________
④ 怎样利用函数解析式求最小运费呢？
（教师引导学生发现，求最小运费就是求解析式中函数 y 的最小值，
一方面从解析式中可以发现， y 随 x 的增大而增大，所以求 y 的最
值需先求 x 的取值范围；另一方面也可画出函数图象，让学生通过
观察图象，发现 y 的最小值）
⑤当调运费用最少时，其他的调运量多少？请你确定出使运费最少的调用方案 .
归纳总结：
ⅰ为什么本题可用函数的方法解决 ? 用函数解决实际问题的一般步骤是什么？
ⅱ怎样列出函数解析式？
ⅲ函数的最值可用哪些方法求出？
ⅳ在实际问题中，求自变量的取值范围有何作用？
对研究其他函数图象时，学生的自主分析能力的提高也很有好处。
函数是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，也是初中数学里代数领域的重要内容，它在初中数学中具有较强的综合性。在教学中，学生常常觉得函数抽象深奥，高不可攀，老师也觉得函数难讲，讲了学生也理解不了，理解了也不会解题。事实果真如此难教又难学吗？本文就初中函数教学中三个常见问题，谈谈在教学设计方面一些方法和实践。
一、函数教学中基于数学思想的教学方式的研究
数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。单独教授知识无益于课本的复读，利用数学思想进行教学和学习，才能真正实现数学能力的提高。
数学思想方法是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是形成数学意识和数学能力的桥梁，是灵活运用数学知识、数学技能和数学方法解决有关问题的灵魂。 日本数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一文中曾写道：学生在初中、高中等所接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以，通常是出校门后不到一两年便很快就忘掉了。然而不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等都随时随地发生作用，使他们受益终身。因此，在函数教学中，我们不仅要在教会函数知识上下功夫，而且还应该追求解决问题的“常规方法”——基本函数知识中所蕴含的思想方法，要从数学思想方法的高度进行函数教学。 在函数的教学中，应突出“类比”的思想和“数形结合”的思想。
1 ．注重“类比教学”
不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法， 利用类比的思想进行教学设计实施教学 , 可称为“类比教学” .
在函数教学中我们期望的是通过对前面知识的学习方法的传授，达到对后续知识的学习产生影响，使学生达到举一反三，触类旁通的目的，让学生顺利地由 “ 学会 ” 到 “ 会学 ” ，真正实现 “ 教是为了不教 ” 的目的．
有经验的老师都会发现，初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。因此采用类比的教学方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。是一种既经济又实效的教学方法。下面我就举例说明如何采用类比的方法实现函数的教学。
首先是正比例函数，它是一次函数特例，也是初中数学中的一种简单最基本的函数。但是，我们有些教师却因为正比例函数过于简单，而轻视。匆匆给出概念，然后应用。等到讲到一次函数、反比例函数、二次函数又感到力不从心，学生接受起来概念模糊，性质混乱，解题方法不明确。造成这种困扰的原因是因为忽视正比例函数的基础作用，我们应该借助正比例函数这个最简单的函数载体，把函数研究经典流程完整呈现，正所谓“麻雀虽小，五脏俱全”。再学习其他函数时，在此基础上类比学习，循序渐进，螺旋上升。
《正比例函数》教学流程
（一）环节一：概念的建立
通过对问题的处理用函数 y=200x 来反映燕鸥的行程与时间的对应规律引入新课。学生自觉思考教师提问，共同得出每个问题的函数关系式。引导学生观察以上函数关系式的特点得出正比例函数的描述定义及解析式特点。
（二）环节二 ：函数图象
这个环节是教学的重点，由学生先动手按“列表——描点——连线”的过程画函数 y=2x 和 y= － 2x 的图象，相互交流比较然后教师利用多媒体展示画函数图象的过程并通过比较使学生正确掌握画函数图象的方法。
（三）环节三：探究函数性质
让学生观察函数图象并引导学生通过比较来归纳正比例函数的性质，这个环节是本课的难点，教师要引导学生从图象的形状，从左往右的升降情况，经过的象限及自变量变化时函数值的变化规律。这几个方面来归纳，最终得出正比例函数的性质。
（四）环节四：概念的归纳
将观察、探究出的函数图象的特征、函数的性质等做出系统的归纳。
（五） 环节五： 概念的应用
这个环节主要加深学生对知识点的理解，突出待定系数法的解题方法。
从这五个环节的设定上，大家不难看出，我们在研究一次函数、反比例函数、二次函数的过程也是经历这样的六个环节，所以用类比的教学方式是在降低学生的学习难度，却能提高学习质量，而且程度比较好的学生可以尝试自主学习一次函数、反比例函数、二次函数。
归纳：函数探究的内容与方法
研究的对象 ------ 函数的图象与性质
研究的方法 ------- 画图象、分析图象、探究坐标变化规律、归纳函数性质
关注的问题 ------- 图象的位置、发展趋势、与坐标轴的交点、函数的增减性 ……
类比进行反比例函数的教学
例如 17.1.2 反比例函数的图象和性质教学
具体教学过程如下：
T ：正比例函数 y=6x 的图象是什么形状？
S1 ：通过原点的直线（为将要学习的反比例函数图象作铺垫）
T ：那么反比例函数 的图象会是什么形状呢？我们采用什么办法画呢
S2 ：描点法。
（问题一） T ：我们学习过的一次函数用几点法描画？
S3 ：两点法。
（追问） T ：为什么呢？
S4 ：根据两点确定一条直线。
（追问） T ：你确定反比例函数的图象是直线吗？
S5 ：不能确定。
（追问） T ：因此我们需要描多少点？
S6 ：尽量多些。正负对称 10 — 12 个点比较合适
（问题二） T ：描点法画函数图象的基本步骤？
S7 ：……
T ：对于 我们如何列表取点？
S8 ：……再次突出描点左右对称取点的思维过程。
教师示范了 的图象画法，再让同学们尝试画出 的图象
（问题三） T ：你能比较出 和 的图象有什么共同特征？
S9 ：两只曲线，关于原点对称（双曲线）
（追问） T 结合你的图象和列表 和 之间的不同点？
S10 ： 在一、三象限， 在二、四象限。
（追问） T ：你能猜想 的图象规律吗，注意类比正比例函数的图象规律？
S11 ：当 k>0, 图象过一三象限，当 K<0 ，图象过二、四象限。
（追问） T 请再画一组 的图象，验证你的猜想
（问题四） T ：通过以上的猜想和验证，你能总结出反比例函数图象的位置规律吗？
S12 ：归纳 S13 ：纠错 S14 ：改正
这是本课时的引入部分，教师通过问题串，把反比例函数图象的定义、图象规律与正比例函数图象联系在一起，教师的设计思路就是采用类比的数学思想，让学生通过类比的数学思想，自主的学习反比例函数图象的定义与性质，学得自然，轻松。
T ：能否把反比例函数图象特征总结一下？
类比正比例函数图象的特征：
反比例函数 正比例函数
图象
位置
增减性
T ：你有什么启发？你发现了什么？……
显然是教师采用了类比教学思路的结果，开启了学生思维的大门，找到了学习新知的有效方法与途径。
对于类比推理的研究最具影响的是波利亚．波利亚在他的著作《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学的发现》中，通过对数学史上一些著名猜想的剖析，再现了一些重大发现产生的渊源及过程，认为归纳和类比是两种最基本的猜测方法，并以此为据提出了合情推理的一般模式．认为类比就是某种类型的相似性．通过具体的例子论述了合情推理 ( 归纳、类比 ) 在数学发现和解题方面的作用．他还结合中学数学教学实际呼吁： “ 要教学生猜想，要教合情推理。
因此我也在此呼呼：初中函数要有整体设计的意识，就是上好《正比例函数》，类比学习《一次函数》、《反比例函数》、《一次函数》。
2. 注重“数学结合”的教学
数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的“数形结合”。函数图象就是将变化抽象的函数“拍照”下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。在借助图象研究函数的过程中，我们需要注意以下几点原则：
（ 1 ）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
（ 2 ）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
（ 3 ）注意让学生体会研究具体函数图象规律的方法。初中阶段一般采用两种方法研究函数图象：一是有特殊到一般的归纳法，二是控制参数法。
下面我就具体函数教学过程中如何体现数形结合思想举例说明：
《一次函数的图象》教学设计片断
①猜想一次函数的图象会是什么形状？
②验证：在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象 .
y=3x,y=3x-3,y=-2x,y=-2x-3
③归纳（不完全归纳法）：一次函数的图象是一条直线，当 k>0 时，直线从左到右呈“起飞”状，即呈上升趋势，经过一、三象限；当 k<0 时，直线从左到又呈“降落”状，即呈下降趋势，经过二、四象限 .
④思考：不同的一次函数，他们图象的形状是相同的，但位置却各不相同，那么一次函数的图象的位置与什么有关呢？
⑤确定研究方法。通过学生的观察、思考、交流以及教师的点拨，学生最终得出：一次函数图象的位置与解析式中的待定参数 k 与 b 的取值有关。教师进一步指出：在研究含有两个参数的问题时，要先固定一个，进而能明晰地研究出另一个参数在“数”上的变化，导致“形”上的差异。
⑥进一步观察刚才画的四个一次函数图象，思考： k 相同， b 不同的一次函数图象之间有何关系？ k 不同， b 相同的一次函数图象之间有何关系？
⑦归纳： k 相同， b 不同的一次函数图象相互平行，将直线 y=kx 向上或向下平移 ∣ b ∣个单位可得直线 y=kx+b;k 不同， b 相同的一次函数图象相交于点（ 0 ， b ） .
在这个教学设计中，由于学生明确了函数图象的研究方法，参与了研究过程，因而对于知识的理解是深刻的、牢固的、灵活的，更重要的是学生体验到了一种研究函数图象的一般方法，提高了学生的自主学习能力和思维水平。
二、函数教学过程中几个难点的处理：
作为初中数学中的难点，函数抽象而富于变化，在一线教学中老师普遍认为有以下几个问题是教学中的难点，老师不好讲，学生不好学。下面我具体举一些教学设计给各位老师参考看是如何突破我们教学中的难点的：
1 ．反比例函数的增减性问题。
在反比例函数教学时，反比例函数的增减性是个难点。不仅 k 的正负上反比例函数的增减性和正比例函数的增减性相反，而且自变量的取值范围上有断点。下面我们看看这个教学设计是如何突破难点的？
《反比例函数的性质》教学设计片断
（ 1 ）回顾反比例函数图象特征
（ 2 ）画出反比例函数 图象，并结合图象，思考下列问题 :
（问题一） T ：①当图象上的一个点，沿着第一象限的图象从左向右运动时，点的坐标怎样变化 ? 这说明在第一象限内，当自变量增大时，函数值是怎样变化的？（课件演示点的运动及坐标的变化）
（追问） T ：②当图象上的一个点，沿着第三象限的图象从左向右运动时，点的坐标怎样变化？这说明在第三象限内，当自变量增大时，函数值是怎样变化的？（课件演示点的运动及坐标的变化）
（追问） T: ③当点 A （ x1,y1）在第一象限图象上，点 B( x2,y2) 在第三象限的图象上， x1与 x2的大小关系如何？ y1与 y2呢？此时①②中的结论还成立吗 ?
（问题二） T ：⑶一般的，反比例函数 ，当 k>0 时，随着 x 的增大， y 的值怎样变化呢 ?
（追问） T: ⑷如何用符号语言描述呢？
（追问） T: ⑸你能从解析式出发给出证明吗？
（问题三） T:(6) 你能从 的图象中 y 随 x 的变化是如何增减的吗？
（问题四） T: （ 7 ）画出反比例函数 图象，并结合图象，思考下列问题……
在上面的教学设计中，教师借助几何画板课件，帮助学生形象直观的理解了反比例函数图象的变化规律，发现变化过程中的特殊点的，自然的归纳出反比例函数增减性的性质及自变量的取值范围，并且通过结合符号语言和解析式全方位诠释增减性的意义。学生不但理解而且记忆，而且途径全面，更好的感受到函数的三种表示方法的整体一致性。
2 ．用函数来求解方程（组）、不等式问题
用函数来求解方程（组）、不等式问题比较难教，因为学生会觉得，用函数的方法求方程（组）与不等式解的方法一点也不简单，比以前的方法复杂、繁琐多了，那为什么还要学习呢？如果学生意识不到所学数学知识的价值与意义，势必影响学习效率。
教材安排用函数的观点看方程（组）、不等式，一方面是为了加强数学知识间的横纵联系，体现函数在初中代数中的统领作用；另一方面从函数的角度，由“数”到“形”的对方程（组）、不等式加深认识，从而站在更高的角度上，提高了学生对旧认识的深度。在教学设计中要注意以下几点：
（ 1 ）从“数”与“形”两方面体现函数与方程（组）、不等式的联系
从“数”来看，就是从函数值看，求方程的解，可转化为当函数值为零时，求相应自变量的值；求不等式的解集，就是当函数值大于零（或小于零）时，求对应的自变量的取值范围；求方程组的解，就是当两个函数的函数值相等时，求对应的自变量和函数值 .
从“形”来看，就是从函数图象看，求方程的解，可转化为求函数图象与 x 轴交点的横坐标；求不等式的解集，可转化为求在 x 轴上方（或下方）的图象对应的自变量取值范围（或一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方的部分对应的自变量取值范围）；求方程组的解集，可转化为求两个函数图象交点的横纵坐标。
（ 2 ）抓住数与形的转换点理解函数与方程（组）、不等式的联系
众所周知，函数图象就是点的集合，函数图象上的每一个点的坐标，就是一组自变量与函数值的对应值，因此数与形的转换点就是图象上的点及其坐标。教学中抓住这一转换点，能有效的促进对函数与方程（组）、不等式的关系的理解。
《一次函数与一元一次不等式》教学设计片断
（一）如何解决下面两个问题，并思考这两个问题之间有何关系？
①解不等式： 5x+6>3x+10 ；
②当自变量为 x 何值时，函数 y=2x-4 的值大于 0 ？
归纳：这两个问题实际上是同一个问题，问题①可以转化为问题②求解
（二）你能从函数 y=2x-4 的图象中，发现问题①的解集吗？
为了促进学生的理解，教师可从以下几个方面点拨 :
ⅰ函数值与函数图象上的点的什么是对应的？函数 y=2x-4 的图象上，符合函数值大于 0 的点在哪一部分？
ⅱ这部分点的什么，就是使函数 y=2x-4 的值大于 0 的自变量 x 的取值范围？
归纳：函数 y=2x-4 图象在 x 轴上方的部分所对应的横坐标的取值范围，就是问题①得解集
（三）函数 y=2x-4 图象在 x 轴下方的部分所对应的横坐标的取值范围，是哪个不等式的解集？
（四）你能进一步得到“解不等式 ax+b>0 与“求自变量 x 在什么范围内，一次函数函数 y=ax+b 的值大于 0 ” 有什么关系吗？ 在上面的教学设计中，教师通过引导学生按照“函数值大于 0 →图象上点的纵坐标大于 0 →位于 x 轴上方的点→横坐标的取值范围→自变量的取值范围”的思维脉络，紧扣数与形的结合点，不仅让学生真正理解了函数与不等式的关系，更重要的是使学生真正做到了用数形结合的方法分析问题。
（ 3 ）使学生明确学习函数与方程（组）、不等式的意义。有些学生可能觉得，用函数的方法求方程（组）与不等式解的方法一点也不简单，比以前的方法复杂、繁琐多了，那为什么还要学习呢？如果学生意识不到所学数学知识的价值与意义，势必影响学习效率。因此，在教学中首先应使学生体会到以下两点：
①解方程（组）与解不等式的问题，都可以化归为函数问题，所以函数统率着方程、不等式；
②从函数的角度分析问题的研究方法，对于后续学习有重要作用。
3．自变量的取值范围
自变量的取值范围，是解函数问题的难点和考点。正确求出自变量取值范围，正确理解问题，并化归为解不等式或不等式组。这需要学生掌握函数的思想，不等式的实际应用，全面考虑取值的实际意义。 容易讲的枯燥无趣，最后变成公式化记忆，但学生总是此题会，彼题又错，效果往往不好。我们看这个教学设计，生动活泼而且理解深刻。
八年级 7.2 认识函数（ 2 ）
例 1 等腰三角形 ABC 的周长为 80 ，底边 BC 长为 y ，腰 AB 长为 x ，
求：（ 1 ） y 关于 x 的函数解析式
学生尝试做题
S1 ： y=80-2x
S2 ： x=(80-y)/2
T ：题目是 y 关于 x ，其中关于相当于等于，所以应该写成 y=80-2x
T ：把你的学号作为三角形的腰长，请计算相应的底边 y 值
学生快速的计算
教师在黑板上列出相关的值：
x=0 （教师的学号为 0 ） y=80
x=10 y=60
x=20 y=40
x=30 y=20
x=40 y=0
x=50 y= -20
x=51 y= -22
（问题一） T ： x 表示三角形的腰， y 表示三角形的底边，你看到这组数据有什么话要说么？
S1 ：不能是负与 0 ，所以最后三个不行。
（追问 1 ） T ：能分享你结论的理由么？
S1 ： y 是底边，需要大于 0
T ：自变量的取值需要符合函数的实际意义
这时下面有个同学在悄悄的说，第一个也不行。
（追问 2 ） T ：能说说你的理由么？
S2 ：因为 x 是等腰三角形的腰长，也是大于 0 的。
T ：自变量的取值必须满足自变量的实际意义
这时，课堂中学生都在用质疑的眼神重新观察题目，重新思考，这时教师让学生进行讨论。经过一段时间的讨论，有学生举手了。
S3 ：第 2 、 3 个也不行
（追问 3 ） T ：为什么？
S2 ：不能构成三角形
（问题二） T ：那么 x 能不能任意取呢？
S ：不能
（问题三） T ：那应该从哪几个方面求 x 的取值范围呢？
S1 ： 20<x<40
T ：你解释一下你是怎么想到的？
S1 ：三角形任意两边之和大于第三边
T ：我们一起来梳理此题求 x 的取值范围的方法
教师板书：
求 x 的取值范围
（ 1 ）自变量 x 的实际意义 x>0
T ：刚才同学们考虑到了函数 y 的取值范围，而 y=80-2x ，所以还要考虑与 x 相关的量的意义
板书（ 2 ）与 x 相关的量的意义 y>0
（问题四） T ：除了这两个量还要考虑到什么呢？
S ：三角形任何两边之和大于第三边
板书（ 3 ）在实际情境中满足限制的条件
T ：等腰三角形只要考虑 x+x>y
实际问题——解析式——求函数值——冲突——反思——探究——归纳。
在这里，是第一次求自变量的取值范围，而学生对自变量的取值范围的求解还没有形成一种常规的思路，所以，老师通过实际的操作（ 80cm 长的红丝线），让学生在动手实践中了解腰、底边、底角、顶角、面积等之间的变化情况，然后列出底边与腰长之间的函数解析式，再给定一个自变量（学生学号作为腰长）求出相应的函数值，一方面复习了函数的有关概念——变量、常量、函数，另一方面也让学生学习了列简单问题中的函数解析式，根据函数解析式，已知自变量的值，求相应的函数值，更重要的是通过学号作为三角形的腰长，计算相应的底边 y 值，教师通过递进式提问，让学生在具体的、特殊的数值中发现矛盾，产生冲突，引起进一步探索的求知欲，提问、追问、反问，学生的解释、说理，由特殊到一般，最后总结出求自变量的取值范围的通性通法，有一种水到渠成、一气呵成的气势。
4 ． 实际应用问题
学习函数的主要目的之一就是在复杂的实际生活中建立有效的函数模型，利用函数的知识解决问题。这也是新课标所倡导的学习，因此新教材大力倡导函 数与实际的应用。
对于学生来说，实际应用是个难点。在实际应用问题的教学中注意把握以下
几点：
（ 1 ）切实体现教材设计意图。教材安排有关应用函数解决实际问题的教学活动，其目的
主要有三 : ①进一步训练学生的建模能力；②进一步提高学生数形结合分析问题、解决问题的能力；③使学生体会函数是解决生活实际问题的有效模型，进一步提高学生解决实际问题的能力。在教学设计中要体现以上意图。
（ 2 ）要根据学生实际。对于学生而言，函数已经觉得很难，再用函数解决实际问题，他们会觉得难上加难，因此在教学中要根据学生实际水平，对于难度较大、综合性较强的
问题要通过有效的设计，分步引导，将复杂问题分解为若干个简单问题，步步深入，有易到难的寻求答案。
例 4 A 地有肥料 200 吨， B 地有肥料 300 吨，现要把这些肥料全部运往 C 、 D 两地。如果从 A 地往 C 、 D 两地运送肥料的费用为每吨 20 元和 25 元；从 B 地往 C 、 D 两地运送肥料的费用为每吨 15 元和 24 元 . 现 C 乡需要肥料 240 吨， D 乡需要肥料 260 吨 , 怎样调运总费用最少？最少费用是多少？
分析：本题的难点有三处：难点一是如何让学生想到可用函数解决这类问题；难点二是如何从复杂的数量关系中，列出函数解析式；难点三是如何分析出函数的最小值；难点四是将数学的解还原为实际问题的解决方案。为了突破难点，不妨采用如下的教学设计：
① 画出示意图，帮助学生理解题意
② 调运费用和哪些量有关？这些量有何关系？
这些量是变量还是常量？
（通过这个问题，启发学生发现调用费用是一
个变量，并且与四个变量有关，这四个变量相
互联系，其他变量都可以用另一个变量表示，既然
是和两个变量有关的问题，符合函数特征，利用函
数的图形和性质可以确定最小值）
③ 设总运费为 y ， A 地运往 C 地的肥料量为 x ，填充下表：
y= ________+ ________+ ________+________
④ 怎样利用函数解析式求最小运费呢？
（教师引导学生发现，求最小运费就是求解析式中函数 y 的最小值，
一方面从解析式中可以发现， y 随 x 的增大而增大，所以求 y 的最
值需先求 x 的取值范围；另一方面也可画出函数图象，让学生通过
观察图象，发现 y 的最小值）
⑤当调运费用最少时，其他的调运量多少？请你确定出使运费最少的调用方案 .
归纳总结：
ⅰ为什么本题可用函数的方法解决 ? 用函数解决实际问题的一般步骤是什么？
ⅱ怎样列出函数解析式？
ⅲ函数的最值可用哪些方法求出？
ⅳ在实际问题中，求自变量的取值范围有何作用？
对研究其他函数图象时，学生的自主分析能力的提高也很有好处。
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