Question

用向量方法求解

如图,线段AB在平面a内,线段AC垂直a,线段BD垂直AB,且AB=7,AC=BD=24，CD=25,求线段BD与平面a所成的角？

Answer 1

如图,线段AB在平面a内,线段AC垂直a,线段BD垂直AB,且AB=7,AC=BD=24，CD=25,求线段BD与平面a所成的角？
解析：∵线段AB在平面a内,线段AC垂直a，线段BD垂直AB,且AB=7,AC=BD=24，CD=25
在面a内，过B作BE⊥AB
建立以B为原点，以BE方向为X轴，以BA方向为Y轴，以AC方向为Z轴正方向的空间直角坐标系B-xyz
则点坐标：B(0,0,0),A(0,7,0),C(0,7,24),D(x1,0,z1)
向量CD=(x1,-7,z1-24)
|向量CD |=√[x1^2+49+(z1-24)^2]=25
∴x1^2+49+(z1-24)^2=625
X1^2+z1^2=24^2
二式联立解得z1=12,x1=12√3
∴D(12√3,0,12)
向量BD=(12√3,0,12)==>|向量BD|=24
向量AC=(0,0,24)==>|向量AC|=24
向量AC*向量BD=288
Cos<向量AC,向量BD >=向量AC*向量BD/|向量AC|*|向量BD|=288/576=1/2
∴向量AC,向量BD夹角为60度
∴线段BD与平面a所成的角为30度

Answer 2

设BD与平面a的角为A，则BD 与AC的夹角为90-A，
向量CD=向量CA+向量AB+向量BD
所以625=576+49+576-2*24*24*sinA
sinA=1/2
所以A=30