Question

已知正方体ABCD_A1B1C1D1,P为DD1中点，o为底面中心，求证（1）AC垂直平面BB1O（2）B1O垂直平面PAC 在线等

Answer 1

第一个问题：
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴BB1⊥平面ABCD，∴AC⊥BB1。
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴ABCD是正方形，∴AC⊥BO。
由AC⊥BB1、AC⊥BO、BB1∩BO＝B，得：AC⊥平面BB1O。

第二个问题：利用赋值法，令AB＝2。
∵AC⊥平面BB1O，∴B1O⊥AC。
容易证得：∠OBB1＝∠ODP＝∠PD1B1＝∠B1A1D1＝90°。
∴由勾股定理，有：
B1O^2＝BB1^2＋BO^2＝4＋（BD/2）^2＝4＋（AD^2＋AB^2）/4＝4＋（4＋4）/4＝6。
PO^2＝PD^2＋DO^2＝（DD1/2）^2＋BO^2＝1＋2＝3。
PB1^2＝PD1^2＋B1D1^2＝PD^2＋（A1D1^2＋A1B1^2）＝1＋（4＋4）＝9。
∴B1O^2＋PO^2＝PB1^2，∴由勾股定理的逆定理，有：B1O⊥PO。
由B1O⊥AC、B1O⊥PO、AC∩PO＝O，得：B1O⊥平面PAC。