Question

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)同时满足下列三个条件

①f(3)=-1;②对任意x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y)③x>1时，f(x)<0.
求f(1/9)=
求不等式f(x)+f(2-x)<2的解集

Answer 1

你好！

令y=1得 f(x) = f(x)+f(1) ∴f(1)=0
令y=x得 f(x²) = 2 f(x)
令y= 1/x 得 f(1) = f(x) +f(1/x) = 0 ∴f(1/x) = - f(x)

(1) f(1/9) = 2f(1/3) = -2f(3) = 2
(2) 设 0<a<b
f(b) - f(a) = f(b/a *a) - f(a)
= f(b/a) +f(a) - f(a)
= f(b/a)
∵b/a >1
∴f(b/a) < 0 即 f(b) < f(a)
故f(x)是减函数

f(x) + f(2-x) < 2
f [x(2-x)] < f(1/9)
x(2-x) > 1/9 【减函数】
且x>0,2-x>0【定义域】
解得 0< x < (3+2√2)/3

Answer 2

解：
(1)
f(1/3)=f(1/9*3)=f(1/9)+f(3)=f(1/9)-1，而f(1/9)=f(1/3*1/3)=2f(1/3)
所以f(1/3)=2f(1/3)-1，f(1/3)=1，所以f(1/9)=2
(2)
f(x)+f(2-x)=f(2x-x^2)<2=f(1/9)
因为x>1时，f(x)<0，所以若a>1/9，则必有a=k*1/9 (k>1)，于是f(a)=f(k)+2<2
所以2x-x^2<1/9，解得x>1+2*2^0.5/3或x<1-2*2^0.5/3
又x>0, 2-x>0
所以0<x<1-2*2^0.5/3 或1+2*2^0.5/3<x<2

Answer 3

f(1*1)=f(1)+f(1)推出 f（1）=0
f(3*(1/3))=f(3)+f(1/3) =f(1)推出f（1/3）=1
f（1/9）=f(1/3)+f(1/3)=2
由条件2可以推出函数为减函数
f(x)+f(2-x)=f(x*(2-x))<2=f(1/9)
x*(2-x)>1/9
(x-1)^2-8/9<0
0<x<1+(8/9)^(1/2)