Question

设R是集合A={1,2,3,4,5}上的关系，R={(1,1),(1,3),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(4,4),(5,2),(5,5)}

（1）画出R的关系图
（2）证明R的等价关系
（3）写出R的所有等价关系

Answer 1

⑴ 如图

⑵ ①自反  (1,1),(2,2),,(3,3),(4,4),,(5,5)都在R

    ②对称   关系图没有两个元素之间的“单方向”箭头。都是双方向的。

  ③传递  可以直接逐一验证 例如﹙13﹚﹙31﹚∈R  ﹙11﹚也∈R.等等。

（3）写出R的所有等价关系。是不是打错 应该是 写出A的所有等价关系。

①都含 (1,1),(2,2),,(3,3),(4,4),,(5,5)

②没有两个元素之间的“单方向”箭头。都是双方向的。

③如果﹙12﹚﹙23﹚∈R.则﹙13﹚，即1,2,3之间有六个箭头。记成﹛1,2,3﹜∈R

一个三角形 没有其他双方向箭头，这种等价关系C﹙5,3﹚＝10个

例如﹛(1,1),(2,2),,(3,3),(4,4),,(5,5)﹙12﹚﹙21﹚﹙13﹚﹙31﹚﹙23﹚﹙32﹚﹜

一个三角形 正好有其他一个双方向箭头，这种等价关系C﹙5,3﹚＝10个

例如﹛(1,1),(2,2),,(3,3),(4,4),,(5,5)﹙12﹚﹙21﹚﹙13﹚﹙31﹚﹙23﹚﹙32﹚﹙45﹚﹙54﹚﹜

一个点“孤立”这种等价关系C﹙5,1﹚＝5个

例如﹛(1,1),(2,2),,(3,3),(4,4),,(5,5)﹙12﹚﹙21﹚﹙13﹚﹙31﹚﹙23﹚﹙32﹚﹙41﹚﹙14﹚﹙42﹚﹙24﹚﹙43﹚﹙34﹚﹜

没有点“孤立”一个，全部点“孤立”[即﹛﹛(1,1),(2,2),,(3,3),(4,4),,(5,5)﹜一个。

另外。没有三角形，一个双方向箭头5个，两个双方向箭头5个[原题R是其中一个]

共有等价关系37个