Question

在平面直角坐标系中,横纵坐标都是整数的点称为整点,设k为整数,当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时

求K的值可以是多少？求详细过程！

Answer 1

有y=x-3可以知道，只要x取整数，则y自然为整数。
交点就是这两个方程组成的一个方程组的解。得x-3=kx+k。x=(k+3)/(k-1)=1+4/(k-1)为整数，只要4/(k-1)为整数就可以了。又因为K为整数，则k的取值为5、3、2、0、-1、-3.

追问

“x=(k+3)/(k-1)=1+4/(k-1)为整数”
(k+3)/(k-1)怎么等换成1+4/(k-1)

追答

(k+3)/(k-1)=(k-1+4)/(k-1)=(k-1)/(k-1)+4/(k-1)=1+4/(k-1)

追问

那怎么确定K的取值？

追答

k只能取整数，且4/(k-1)也为整数，这样。当k大于5或者小于-3，4/(k-1)就是分数，这样，k的取值范围只能是-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5.在这8个数字中，验证4/(k-1)是否为整数。经验证可以确定k的取值，其中分母不能为0。

追问

怎么列它的不等式来确定取值范围？

追答

解题过程是：
由于k只能取整数，且4/(k-1)也为整数，则k的取值范围是5、3、2、0、-1、-3. 不用列不等式。老师批改会一眼看出来你的思路的。

追问

这样可以不？
4/(k-1)≥1
4/(k-1)≤-1
解得：-3≤k≤5
∵K为整数，且4/(k-1)也为整数
∴k的取值为5、3、2、0、-1、-3.

你知不知道我列的不等式什么意思？

追答

|4/(k-1)|>=1

追问

应该是4/(k-1)≥1
4/(k-1)≥-1

追答

4/(k-1)>=1或者4/(k-1)<=-1.

Answer 2

解：求直线y=x-3与y=kx+k的交点
联立 y=x-3 和y=kx+k
得(1-k)x=k+3 ①
当k=1时 直线y=kx+k即为y=x+1
它与y=x-3平行 没有交点
因此k≠1
从而由①解得交点的横纵坐标为
x=(k+3)/(1-k) y=(k+3)/(1-k)-3
要使交点为整点 则(k+3)/(1-k)必须为整数，令其为z，z属于整数
z=(k+3)/(1-k) 得k=(z-3)/(z+1)
当z=0时 k=-3
当z=1时 k=-1/2
当z=2时 k=-1/3
…………
总之只要满足k=(z-3)/(z+1) （其中z为整数）
那么这两条直线的交点就为整点