Question

关于线性偏微分方程分离变量的问题

分离变量会漏解吗？
除了分离变量得到的解外，其他形式的解是什么样的？或通解、通解是什么样的？
几乎所有书都直接用分离变量法解，却不讨论何时能分离，何时不能。
格林函数法得到的解就不能用分离变量法来表示，还有这样的例外吗？

Answer 1

分离变量是数学或物理学中很无耻的方法。其应用没什么特别的规律。一般来讲，如果微分方程所描述的物理现象存在波动、反射之类的，并且结合其边界条件能构成本征值问题，那么用分离变数法往往能起到奇效。个人认为，就是靠经验。

一般方程的通解都能通过分离变量法得出的解的现行叠加获得。就我目前接触的微分方程，分离变量得出的解尚未发现存在漏解。

格林函数一般是针对非齐次微分方程的，分离变量往往不具备物理意义。

微分方程基本是没法解的，能解出来的是很少数，个人感觉都是些前人胡乱试出来的，所以有样学样就OK。我以前也曾经纠缠过各种解法，但现在接触古灵精怪的微分方程多了，发现一切都是浮云啊。比分离变量、格林函数什么的更加无耻的方法多着是，慢慢享受吧。

Answer 2

偏微分方程的所有解都可以写成单变量函数的积的形式或者是但变量函数积的和不一定……，达朗贝尔公式是无界波动问题的解。X(x)*Y(y)大概线性二阶