Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=(根号3)/2，直线l:y=2x-3与椭圆C交与A,B两点

若以AB为直径的圆过原点，求椭圆C的方程

Answer 1

e=(根号3)/2,
∴c^2/a^2=3/4,
∴b^2=a^2-c^2=a^2/4,
∴C:x^2+4y^2=4b^2,
把y=2x-3代入上式，
x^2+4(4x^2-12x+9)=4b^2,
17x^2-48x+36-4b^2=0,
△=48^2-68（36-4b^2)=272b^2-144,
x1+x2=48/17,
AB中点M(24/17，-3/17),
OM^2=585/289=(AB/2)^2=[(1/2)√（5△)/17]^2=5(68b^2-36)/289,
117=68b^2-36,
b^2=9/4,a^2=9,
∴椭圆C的方程为x^2/9+4y^2/9=1.

Answer 2

1.求椭圆的方程
2.求直线L的方程
3.求三角形PAB的面积
(1)c/a=√6/3，c=2√2，得a=2√3，a²=12，b²=4
于是椭圆方程为x²/12+y²/4=1
（2）设AB中点为D（x0，y0），直线AB方程为y=x+b
联立方程得4x²+6bx+3b²-12=0
x1+x2=-3b/2，y1+y2=x1+x2+2b=b/2
于是x0=-3b/4，y0=b/4
而PD垂直AB，所以PD斜率为-1
[（1/4）b-2]/[（-3/4）b+3]=-1，得b=2
于是直线AB方程为y=x+2
（3）由（2）可知|AB|=（√2）√[（x1+x2）²-4x1x2]
x1x2=（3b²-12）/4=0，x1+x2=-3b/4=-3/2，得|AB|=（3/2）√2
|PD|=|-3-2+2|/√2=（3/2）√2
S△PAB=（1/2）|PD|*|AB|=9/4