Question

您好 一道考研数学证明题

http://zhidao.baidu.com/question/353317463.html
这是问题链接

Answer 1

抱歉，才看到求助。

a^b > b^a
b lna > a lnb
(lna)/a > (lnb)/b

故只需讨论函数 f(x) = lnx /x 的单调性

f'(x) = (1- lnx ) / x²
令f'(x) = 0 得 x=e

x (0,e) e (e,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 增 极大值 减

故当 e>a>b>0时有 (lna)/a > (lnb)/b 即 a^b > b^a
当 a>b>e 时有 (lna)/a < (lnb)/b 即 a^b < b^a

由此可见，原命题 【a>b>1时 a^b > b^a】 不一定成立
例如 a=4,b=3 4^3 < 3^4

追问

你把题目放大了看！你可能没看清楚！

追答

太着急，没看清楚题-_-。sorry！

a^(b^a) > b^(a^b)
(b^a) lna > (a^b) lnb
alnb + ln(lna) > blna + ln(lnb)

令f(b) = alnb - blna - ln(lnb) + ln(lna) ，b∈(1,a)
【证明f(b)是减函数即可】
f'(b) = a/b - lna - 1/(blnb) = [ alnb - blnalnb -1 ] / (blnb)
令g(b) = alnb - blnalnb -1
g'(b) = a/b - lna (lnb +1) = [ a - blna(lnb +1) ] /b
令h(b) = a - blna(lnb +1)
h'(b) = lna (lnb +2) > 0
故h(b)在(1,a)是增函数
h(b) > h(1) = a- lna >0
则g'(b) >0
故g(b)在(1,a)是增函数
g(b) b^(a^b)
(b^a) lna > (a^b) lnb
alnb + ln(lna) > blna + ln(lnb)
ln[(lna)/(lnb)] > blna - alnb

令x= (lna)/(lnb) >1，y=lnb >0
即证 lnx > e^y * xy - e^(xy) *y = y [xe^y - e^(xy)]

令f(y) = xe^y - e^(xy)，y>0
f'(y) = xe^y - xe^xy = xe^y [1- e^(xy-y)]
∵xy-y = y(x-1) >0 ，e^(xy-y) >1
∴f'(y) 0 ,∴lnx > yf(y) 成立
若f(y)> 0 即xe^y - e^(xy) = e^y [x - e^(xy-y)] >0
∴ x - e^[y(x-1)] >0 ，x > e^[y(x-1)]
lnx > y(x-1) > yf(y)

故原命题得证。

【以上思路来自网友 wsmurderer
（详见链接：http://tieba.baidu.com/p/1320551890）
非常感谢！】

受此启发，在证明①式之后还可用以下方法（稍复杂一点）：

∵f(y) 1,y>0)
二元函数极值问题，易得在(1,1)处取得极小值 0
又x=1是取不到的，故g(x,y)>0
从而 lnx > y(x-1)
原命题得证。

如果没学二元函数，则令g(x) = lnx -yx +y，x>1
g'(x) = 1/x -y
令g'(x)=0 得 x = 1/y
易知此时g(x)取极小值 g(1/y) = ln(1/y) -1+y = y - lny -1
只需证 h(y) = y - lny -1 ≥0 （y>0）
求导即证。
故原命题得证。

追问

谢谢你啦！我昨天晚上证明出来了！但是我又想了一个问题，当a>b>0时好像也成立！！！

追答

嗯 做出来就好
至于a>b>0的情况，我有时间再研究研究

能分享一下你的做法吗？直接hi我就好，追问多了要扣财富值。

Answer 2

何必在这边再问一次呢。。还是说你想悬赏110分不过度娘限制只能100分。。

追问

我这是求助另一个人呢 他回答过我问题 北大的学生。很急。