Question

急！！！已知函数f(x)=loga(ax^2-x+1/2) （a>0且a≠1）在[1,3]上恒为正，求实数a的取值范围。

已知函数f(x)=loga(ax^2-x+1/2) （a>0且a≠1）在[1,3]上恒为正，求实数a的取值范围。（a为底数，加括号的为真数）

Answer 1

(1)若o<a<1，则在[1,3]上0<ax^2-x+1/2<1。
ax^2-x+1/2>0，a>-1/(2x^2)+1/x=-(1/2)(1/x-1)^2+1/2.。-(1/2)(1/x-1)^2+1/2在[1,3]上的最大值是1/2。
所以，a>1/2。
ax^2-x+1/2<1，a<1/(2x^2)+1/x=(1/2)(1/x+1)^2-1/2。(1/2)(1/x+1)^2-1/2在[1.3]上的最小值是7/18。
所以，a<7/18，与a>1/2矛盾。
(2)若a>1，则在[1,3]上ax^2-x+1/2>1。
a>1/(2x^2)+1/x=(1/2)(1/x+1)^2-1/2。(1/2)(1/x+1)^2-1/2在[1.3]上的最大值是3/2。所以，a>3/2。

Answer 2

设g(x)= ax²-x+1/2，
当0<a<1时， 0<g(x)<1恒成立，分离a和x得1/2<a<5/8
当a>1时， g(x)>1恒成立，g(x)在[1，3]上为增函数，
由g(1)>1得a>3/2.
综上，1/2<a<5/8，或a>3/2.