一道简单线性代数题。帮忙看看我的证明可不可以。
题目:解释为什么当{v1,v2,v3}是线性无关集且v4不在span{v1,v2,v3}里时,集合{v1,v2,v3,v4}是线性无关集。(v1,v2,v3,v4是R5中...
题目:解释为什么当{v1,v2,v3}是线性无关集且v4不在span{v1,v2,v3}里时,集合{v1,v2,v3,v4}是线性无关集。(v1,v2,v3,v4是R5中向量)。
我的解答:当{v1,v2,v3}线性无关时,其中任一向量均不能用另外两个向量表示。又因为v4不是v1,v2,v3的线性组合,则集合{v1,v2,v3,v4}中任一向量均不是另外三个向量的线性组合。由线性相关的定理知,若该集合是线性相关集,那么其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。则可知{v1,v2,v3,v4}是线性无关集。
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我的解答:当{v1,v2,v3}线性无关时,其中任一向量均不能用另外两个向量表示。又因为v4不是v1,v2,v3的线性组合,则集合{v1,v2,v3,v4}中任一向量均不是另外三个向量的线性组合。由线性相关的定理知,若该集合是线性相关集,那么其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。则可知{v1,v2,v3,v4}是线性无关集。
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4个回答
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你的回答芦者此想法是对的,回答起来有点笼统,没有反证的明确
反证
假如{v1,v2,v3,v4}是线性相关集,则存在不全为0的k1、嫌斗k2、k3、k4,使得k1v1+k2v2+k3v3+k4v4=0
可知k4不为0,(这是因为如果k4是0,则k1v1+k2v2+k3v3=0,陪迅且{v1,v2,v3}是线性无关集,则k1、k2、k3均为0,这与k1、k2、k3、k4不全为0的条件不符)
所以v4=-(k1v1+k2v2+k3v3)/k4,即v4能被v1,v2,v3线性表出,这与v4不在span{v1,v2,v3}里矛盾。所以集合{v1,v2,v3,v4}是线性无关集
反证
假如{v1,v2,v3,v4}是线性相关集,则存在不全为0的k1、嫌斗k2、k3、k4,使得k1v1+k2v2+k3v3+k4v4=0
可知k4不为0,(这是因为如果k4是0,则k1v1+k2v2+k3v3=0,陪迅且{v1,v2,v3}是线性无关集,则k1、k2、k3均为0,这与k1、k2、k3、k4不全为0的条件不符)
所以v4=-(k1v1+k2v2+k3v3)/k4,即v4能被v1,v2,v3线性表出,这与v4不在span{v1,v2,v3}里矛盾。所以集合{v1,v2,v3,v4}是线性无关集
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直接得到“则集合{v1,v2,v3,v4}中任一向量均者键不是另外三个向量的线性组合”有点太简单,貌似由前面的条件很难直接得到这个结果吧。
可以用虚岁线性相关性的定义来证明,如kissknow4所说,或者用方程组:首先,R(v1,v2,v3)=3。其次,v4不在span{v1,v2,v3}中,即v4不能用v1,v2,v3线性表示,所以方程组(v1,v2,v3)x=v4无解,所差嫌睁以R(v1,v2,v3,v4)<R(v1,v2,v3,v4),所以R(v1,v2,v3,v4)=4,所以v1,v2,v3,v4线性无关
可以用虚岁线性相关性的定义来证明,如kissknow4所说,或者用方程组:首先,R(v1,v2,v3)=3。其次,v4不在span{v1,v2,v3}中,即v4不能用v1,v2,v3线性表示,所以方程组(v1,v2,v3)x=v4无解,所差嫌睁以R(v1,v2,v3,v4)<R(v1,v2,v3,v4),所以R(v1,v2,v3,v4)=4,所以v1,v2,v3,v4线性无关
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设k1v1+k2v2+k3v3+k4v4=0,有袜衡肢k4为0,否则若k4不为0,则v4=-(k1v1+k2v2+k3v3)/k4可由v1,v2,v3表出,矛盾。k4=0,告世拦轿则k1v1+k2v2+k3v3=0,于是k1=k2=k3=0,于是四个向量线性无关。
你的回答也行
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2011-12-17
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赞同下面用反证法那个,反证法更具有说服力
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