Question

数学分析问题 设f为区间I上的单调函数.证明:若x0属于I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点.

可去间断点？第一类间断的条件左右极限都存在，可端点处只有单侧极限(即左端点有右极限，但没有左极限啊？右端点处有左极限，但没有右极限啊？)

Answer 1

首先来个严密的证明，若这个区间为开区间，则设函数f的间断点为X。，f在点X。可以没有定义，由于是间断点，则这个点满足间断点的前提条件：函数f在点X。的某个去心邻域内有定义，我们设这个去心邻域为（X。-δ。，X。）∪（X。，X。+δ。），设X1属于（X。，X。+δ。），则对于x属于（X。-δ。，X。）,由f的单调性知，有f(x)＜f(X1),则f(x)有上界，由上确界定理知f(x)有上确界，再由函数的单调有界定理知道f(X。-0）存在，同理可得f(X。+0）存在，左右极限都存在，这样X。就是第一类间断点了。
其次就是你要真正理解间断点的定义，如果区间是一个闭区间或者是半开半闭的，总之是有端点的，在这里，区间的端点都不是间断点，因为端点是不满足间断点定义的前提条件，端点只有一侧使f有定义，所以在定义域区间里面的端点跟孤立点都不能讨论间断性！这个是要弄清楚的，好好学习数学吧，数学很有趣的。

Answer 2

由于函数f单调函数，x0在区间I内。则函数x0出左极限与有极限相等。若x0是I的间断点，这此间断点为可去间断点。即属于第一类间断点

追问

可去间断点？第一类间断的条件左右极限都存在，可端点处只有单侧极限(即左端点有右极限，但没有左极限啊？右端点处有左极限，但没有右极限啊？)

追答

可去间断点可以用重新定义Xo处的函数值使新函数成为连续函数
一般不考虑端点处的间断点