Question

λ1，λ2是A的两个不同特征值，对应特征向量分别为α1，α2，则α1，A（α1+α2）线性无关的充要

λ1，λ2是A的两个不同特征值，对应特征向量分别为α1，α2，则α1，A（α1+α2）线性无关的充要条件？写出步骤！谢谢！

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

设 k1α1+k2(λ1α1+λ2α2) = 0 (*)
则 α1，A(α1+α2)线性无关充要条件是 k1,k2 只能为0.

(*)式改写为 (k1+k2λ1)α1 + k2λ2α2 =0
因为 α1,α2 无关
所以 k1+k2λ1 = 0
k2λ2 = 0
将k1,k2 看作未知量. 则上齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式≠ 0.
而系数行列式 =
1 λ1
0 λ2
= λ2
(注: 这个行列式就是上一个解法的行列式的转置)
故 α1，A(α1+α2)线性无关充要条件是 λ2≠ 0.

Answer 3

Aa1=k1a1,Aa2=k2a2,k1 k2是两个不同特征值。则a1 a2线性无关。令d1a1+d2A(a1+a2)=0，即
d1a1+d2（k1a1+k2a2）＝0或(d1+d2k1)a1+d2k2a2=0，故d2k2=0，d1+d2k1=0 因此要求k2不等于0，即属于a2的特征值不为0时，线性无关（若属于a2的特征值是0，显然线性相关）。