Question

如图，以三角形ABC的边BC为直径作圆O，圆O与AB交于点D，E为弧CD的中点，连CD、CE，且CE平分角ACD。

（1）求证：AC是圆O的切线；（2）连接AE，若BC=6，AC=8，求AE的长。

Answer 1

证明：因为BC是圆的直径 所以角BDC=90度
连接BE 因为E为弧CD的中点，所以角EBC=角DBE=1/2角DBC
又CE为角ACD的角平分线，所以角ECD=1/2角ACD
又角ECD=角DBE(夹弧所对的圆周角相等）
所以角ACD=角ABC
角ABC+角DCB=角ACD+角DCB=90度 所以AC垂直BC 即AC是圆O的切线
2、SIN∠ABC=8/10=4/5 SIN∠ABC/2=√5/5 COS∠ABC/2=2√5/5
所以EC=6√5/5
在三角形ACE中，已经知道了EC=6√5/5 AC=8 COS∠ACE=2√5/5
利用余弦定理可以计算出AE= 2/5√205 自己计算下吧刚才一个算错了

Answer 2

图略。为方便书写，在图中标注∠1、∠2、∠3、∠4，位置分别为∠ECD、∠ECA、∠EBA、∠EBC
（1）证明：
∵E为弧CD的中点
∴∠3=∠4（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）
∵CE平分角ACD
又∵∠1=∠3（同弧上的圆周角相等）
∴∠1=∠2=∠3=∠4
∵BC为直径
∴∠BDC=90°（直径上的圆周角是直角）
∴∠BCD+∠3+∠4=180°-∠BDC=90°（三角形内角和等于180°）
∴∠BCD+∠1+∠2=90°
∴AC是圆O的切线（经过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线）
（2）解：
在直角三角形ABC中BC=6，AC=8，则斜边AB=10，cos2∠3=3/5
2cos²∠3-1=3/5，cos∠3=（2√5）/5
cos∠4=（2√5）/5
在三角形BEC中
∵BC为直径
∴∠BEC=90°（直径上的圆周角是直角）
BC=6，BE=BC·cos∠4=（12√5）/5

在三角形ABE中AB=10，BE=（12√5）/5，cos∠3=（2√5）/5
∴AE²=AB²+BE²-2AB·BE·cos∠3=100+144/5-20·（12√5）/5·（2√5）/5
=100+144/5-480/5=164/5
AE=（2√205）/5

Answer 3

不难呀，我会做呀