Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.

若P是该椭圆上的一个动点,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,求向量PF1* 向量PF2的最大值和最小值

Answer 1

离心率为2分之根号3 c/a=√3/2
短轴的一个端点到右焦点的距离为a a=2 c=√3 b=1
椭圆 x^2/4+y^2=1 F1(-√3,0) F2(√3,0)
P(m,n)
向量PF1=(-m-√3,-n)
向量PF1=(-m+√3,-n)
向量PF1* 向量PF2=m^2+n^2-3
m^2/4+n^2=1
设m=2cosθ
y=sinθ
向量PF1* 向量PF2=m^2+n^2-3=4cos^2θ+sin^2θ-3
=3cos^2θ-2
当3cos^2θ=1时 最大值=1
当3cos^2θ=0时 最小值=-2