Question

已知抛物线解析式Y=aX²+bX+c的对称轴为X=2,且与X轴交于点A 点B 与Y轴交于C

A（1,0）C（0,-3）P是抛物线上动点。当S△PBC=S△ABC时。求P坐标？ 当∠ACB=∠BCP时。CP解析式？

Answer 1

如图所示，抛物线方程为y=-x^2+4x-3

(1)当S△PBC=S△ABC时，因为两三角形等底，所以要面积相等，只要高相等就行了。所以过A作BC的平行线，再作A关于BC对称的点关于BC的平行线。加上A自己，共与抛物线交与4个点（P是动点，既然没特殊规定就可以和A重合）。

直线BC的方程为y=x-3，A(1,0)，所以三角形的高，即两条平行线到BC的距离均为√2。

因为直线BC倾斜角为45°，所以高的倾斜角为135°，设直线BC上一点为(x,x-3)，分两种情况进行讨论：

当P为P2、P3中的某一点时，坐标为(x-1,x-2)，带入抛物线方程求得x=2或3,，所以P2(1,0)，P3(2,1)；

当P为P1、P4中的某一点时，坐标为(x+1,x-4)，带入抛物线方程求得x=(1±√17)/2,，所以P1((3-√17)/2,-(7+√17)/2)，P3((3+√17)/2,-(7-√17)/2)。

综合上述，满足条件的P点有4个：((3-√17)/2,-(7+√17)/2)、(1,0)、(2,1)、((3+√17)/2,-(7-√17)/2)。

(2)当∠ACB=∠BCP时，因为A(1,0)，BC斜率为1，则A关于BC对称的点A'(3,-2)。也分两种情况进行讨论：

当P经过直线CA'时，由A'(3,-2)和C(0,-3)得解析式为y=x/3-3；

当P经过直线CA时，由A(1,0)和C(0,-3)得解析式为y=3x-3，此时A、P重合。

综合上述，CP的解析式为y=x/3-3或y=3x-3。

Answer 2

后面可以计算出B点坐标（3,0），求出S△ABC=3，BC=3√2，要使S△PBC=S△ABC，即要p点到BC的距离为√2，给你提供个思路，后面的可以自己算吧。

Answer 3

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