Question

初三数学竞赛题，关于圆的。想了很久没想出来，希望帮帮忙。有图！谢谢！

如图P是圆O的直径AB的延长线上的一点，且PB=1/2AB，过P作圆O的切线，切点为D，过A作AC垂直PD，垂足为C，交圆O于E，连接PE交圆O于F，连接AF并延长交PC与G，过C作CH垂直AP，垂足为H，连接EH和CH，求证：EH垂直GH。

Answer 1

分析：做这种题唯一的方法就是分析法、从未知到已知。要证明EH垂直GH那么∠EHG=∠
CHE+∠CHG=90.因为CH⊥AP=>∠CHP=∠CHG+∠GHP=90.所以要证∠CHE=∠GHP，因为AC垂直PD，CH垂直AP所以：∠ACH=∠CPA.其实就是要证：△CHE∽△HPG。要证这两个三角形相似，只知道一组对角相等，那么只等找边了，所以CH/PH=CE/PG这个必须成立，

从已知到未知：
证明
PB=1/2AB，过P作圆O的切线，那么：PDXPD=PBXPA=3POXPO/4.∠CDP=90得到：PD/PO=√3 /2.所以：∠CPA=30.∠DCP=∠CAP=60连接EO.得到，△AOE和△EOD和△OBD为等边三角形，并且，四边形AODE为棱形四边形EBPD为平行四边形，∠GAP=∠BEP.因为BE平行与PC。所以∠BEP=∠GPE，加上公共∠PGA。得到，△PFG∽△PAG，那么，PGXPG=FGXAG.因为GD为切线，所以:GDXGD=FGXAG，所以，PG=DG.PB=BO=BD所以BG⊥PD.所以，四边形BGCE为矩形。所以CE=BG。因为两直角三角形，△PHC∽△PBG所以CH/PH=BG/PG,因为CE=BG。所以CH/PH=CE/PG，所以加：∠ACH=∠CPA得到：△CHE∽△HPG所以∠CHE=∠GHP因为CH⊥AP=>∠CHP=∠CHG+∠GHP=90.所以∠EHG=∠
CHE+∠CHG=∠CHG+∠GHP=90.所以EH垂直GH得证

不懂的可以追问 ,有的地方太简单的就简写了，比如射影定理可以得到。。同狐圆周角相等，切割线定理。

Answer 2

有点挑战性 刚刚学完圆 可以看看

Answer 3

其实很简单连结BD 然后注意半径就解出了 貌似还要勾股定理