Question

已知△ABC,角BAC=90°,AB=AC=4,分别以AC,AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图），

已知△ABC,角BAC=90°,AB=AC=4,分别以AC,AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图），点M（m,n）是直线BC上的一个动点，设△MAC的面积为S；
（1）求直线BC的解析式；
（2）求S关于m的函数解析式；
（3）是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1)因为 ∠BAC=90°，AB＝AC=4,点C在X轴上,点B在y轴上,
所以直线BC的解析式：y=-x+4；
（2)因为点M（m,n）是直线BC上的一个动点，
所以：S=S△MAC
=1/2*AC*n
=2n
=2（4-m）
=-2m +8；
（3）存在点M，使△AMC为等腰三角形：
当AM=CM时，M为BC的中点，点M的坐标为（2，2）；
当CA=CM时，CM=4，点M的坐标为（4-2√2，2√2）。

Answer 2

解：因为a、b是方程X^2-(m-1)x+(m+4)=0的两根
则a+b=m-1 ab=m+4---（1）
且∆=〖（m-1）〗^2-4(m+4)>0，即 m>3+2√6 或者m<3-2√6
又a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=m^2-4m-7
由勾股定理得a^2+b^2=25 m^2-4m-7=25 m^2-4m-32=0
解方程得出m1=8 m2=-4
因为a>0，b>0，则ab>0 m2=-4 舍去
将m=8带入（1）式可得
a+b=m-1=7 ab=m+4=12
a=3 b=4或a=4 b=3
又因为a>b，即a=4 b=3

Answer 3

存在