Question

根号下x的平方加1的不定积分怎么求，不用积分表

Answer 1

∫√(x^2+1) dx
＝∫√(tan^2 t +1)/cos^2 t dt
＝∫1/cos^3 t dt
＝∫[1/(cosx)^3]dx=∫secxd(tanx)=secxtanx-∫tanxd(secx)=secxtanx-∫(tanx)^2secxdx=secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|-∫[1/(cosx)^3]dx∴2∫[1/(cosx)^3]dx=secxtanx+ln|secx+tanx|+C1即∫[1/(cosx)^3]dx=（1/2）·(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C
所以原积分＝（1/2）·(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C

Answer 2

一种方法是用不定积分换元，令x=tan u, -pi/2<u<pi/2,代入积分表达式，接下来应当不用我说了吧