Question

已知│a│=1，│b│=1，a，b的夹角为120°，计算向量2a-b在向量a+b方向上的投影。

Answer 1

向量2a－b在向量a＋b方向上的投影是|2a－b|乘以2a－b与a＋b的夹角的余弦值。
|a＋b|²=|a|²＋2a*b＋|b|²=1－1＋1=1，则|a＋b|=1
设(2a－b)与a＋b的夹角为w，则：(2a－b)*(a＋b)=|2a－b|×|a＋b|×cosw
2|a|²＋a*b－|b|²=|2a－b|×cosw
2－(1/2)－1=|2a－b|×cosw
|2a－b|×cosw=1/2
则：(2a－b)在(a＋b)上的投影是|2a－b|×cosw=1/2

Answer 2

由|a|=1， |b|=1，<a，b>=120度，得：
a*b=|a|*|b|*cos<a，b>=-1/2。
所以|2a-b|^2=4|a|^2-4a*b+|b|^2=7，
|2a-b|=√7；
|a+b|^2=|a|^2+2a*b+|b|^2=1，
|a+b|=1。
而(2a-b)*(a+b)=2|a|^2+a*b-|b|^2=1/2，
所以cos<2a-b,a+b>=(2a-b)*(a+b)/|2a+b|*|a+b|=√7/14，
向量2a-b 在向量a+b方向上的投影=|2a-b|*cos<2a-b,a+b>=1/2。