Question

如图：AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交 BD、BC于F、E，AC、BD相交于O，求证：OF= 1/2CE．

如图：AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交 BD、BC于F、E，AC、BD相交于O，求证：OF= 1/2CE．取AE中点M，连结MO。这样来做

Answer 1

过C做AC的垂线交AE延长线于G.
∠AEB=∠CEG=45+22.5=67.5°
∠G=180-45-67.5=67.5°
∠CEG=∠G
CE=CG
OF是△ACG的中位线，OF=(1/2)CG
所以OF＝二分之一个CE

Answer 2

证明：取AE中点M，连结MO。∵O是AC的中点，∴OM∥CE，

且有OM=1/2CE；∠OMF=∠AEB；

下面我们来证明OM=OF.

在Rt△ABE和Rt△AOF中，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠OAF，∴Rt△ABE∽Rt△AOF，

∴∠AEB=∠AFO；又∠OMF=∠AEB，∴∠OMF=∠AFO=∠OFM，∴△OMF是等腰三角形，

即OM=OF；

综上有：OF=1/2CE.

Answer 3

证明：取AE中点M，连结MO。∵O是AC的中点，∴OM∥CE，且有OM=1/2CE；∠OMF=∠AEB；下面我们来证明OM=OF.在Rt△ABE和Rt△AOF中，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠OAF，∴Rt△ABE∽Rt△AOF，∴∠AEB=∠AFO；又∠OMF=∠AEB，∴∠OMF=∠AFO=∠OFM，∴△OMF是等腰三角形，即OM=OF；综上有：OF=1/2CE.

Answer 4

证明：取AE中点M，连结MO。∵O是AC的中点，∴OM∥CE，
且有OM=1/2CE；∠OMF=∠AEB；
下面我们来证明OM=OF.
在Rt△ABE和Rt△AOF中，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠OAF，∴Rt△ABE∽Rt△AOF，
∴∠AEB=∠AFO；又∠OMF=∠AEB，∴∠OMF=∠AFO=∠OFM，∴△OMF是等腰三角形，
即OM=OF；
综上有：OF=1/2CE.

Answer 5

过O点作OP∥BC交AE于P，则OP＝1/2CE，OP∥AD
∴∠OPF＝∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝∠EAC＋45°
又∵∠OFP＝∠ABD＋∠BAE＝∠BAE＋45°，∠EAC＝∠BAE
∴∠OPF＝∠OFP
∴OP＝OF
∴OF＝1/2CE