Question

设函数f(x)=-x^2+4ax-3a^2,若0<a<1,x∈【1-a,1+a】时，恒有-a≤f(x)≤a成立，试确定a的取值范围。

麻烦各位了！
（需要要解题过程。粘贴的就别来了！）

Answer 1

f(x)=-(x-2a)^2+a^2   对称轴x=2a

1+a-2a=1-a＞0   所以1+a在2a右侧

现在讨论1-a在2a哪侧

一、（1-a）-2a＞0时，即0＜a＜1/3

区间【1-a，1+a】在对称轴右侧

    f(x)max=f(1-a)≤a  结果恒成立

     f(x)min=f(1+a）≥-a结果   1/3≤a＜1

               所以这情况无解

二、（1-a）-2a＜0即1/3≤a＜1

        对称轴在【1-a，1+a】

     f(x)max=f(2a)≤a         0＜a＜1

        f(1-a）≥-a                7+√17)/16≤a≤(7+√17)/16

        

         f(1+a）≥-a                1/3≤a＜1

由以上2种情况可得

因此a在 【[1/3，(7+√17)/16】

Answer 2

f(x)=-x^2+4ax-3a^2
=-(x-a)(x-3a)
x>=1-a
f(x)=-(x-a)(x-3a)>=-a
8a²-7a+1<=0
解得(7-√17)/16<=a<=(7+√17)/16
x<=1+a
f(x)=-(x-a)(x-3a)<=a

Answer 3

a的结果在[1/3.(7+√17)/16]

f(x)=a^2-(x-2a)^2

顶点在x=2a处
0<=2a<=1-a时 最大值f(1-a)<=a 最小值 f(1+a)>=a
解集为空

1-a<=2a<=1 时 最大值f(2a)<=a 最小值f(1+a)>=a
解得 1/3<=a<=1/2

2a>=1时 最大值 f(2a)<=a 最小值f(1-a)>=-a
解得1/2<=a<=(7+√17)/16

因此a在 【[1/3，(7+√17)/16】