Question

如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC= 23．设直线AC

如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC= 23．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值

Answer 1

解：（1）如图；易知：△ABC∽△AFE；
∴ CBEF=ABAF；
由题意知：AF=8，AB=6，BC=2 3；
∴EF= 833，
即E（4， 833）；
设抛物线的解析式为：y=a（x-4）2+h（a≠0），由于抛物线经过C（2，2 3），O（0，0）；
则有： {16a+h=04a+h=23，
解得 {a=-36h=833；
∴抛物线的解析式为y=- 36（x-4）2+ 833=- 36x2+ 433x；
其顶点坐标为（4， 833），正好与E点坐标相同，故此抛物线一定经过E点；

（2）过M作MQ∥y轴，交x轴于Q，交直线CN于P；
易知：N（8，0），C（2，2 3）；
可得直线CN的解析式为y=- 33x+ 833；
设点Q的坐标为（m，0），则P（m，- 33m+ 833），M（m，- 36m2+ 433m）；
∴MP=- 36m2+ 433m-（- 33m+ 833）=- 36m2+ 533m- 833；
∴S=S△CMN= 1/2MP•|XN-XC|= 12×（- 36m2+ 533m- 833）×6=- 32m2+5 3m-8 3；
即S=- 32（m-5）2+ 932（2＜m＜8）；
∵2＜5＜8，
∴当m=5时，Smax= 932；
即△CMN的最大面积为 932．
另解：连BM即可．

Answer 2

解；因为 CM垂直于BD 所以 ∠E=90—∠ MNE因为 ∠NAD+∠ADN=∠ MNE因为 矩形ABCD所以 ∠BAD=90因为 AN平分∠BAD所以 ∠NAD=45所以 ∠CAE=45-∠DAC，∠MNE=45+∠ADB所以 ∠E=90-（45+∠ADB）在矩形ABCD中AC=BO，AO=1/2AC，DO=1/2BD 所以 OA=OD所以 ∠DAC=∠ADB因为 ∠E=∠CAE所以：AC=CE是等腰三角形因为EC平行于BD，所以 角DBC=角ECB又因为CB垂直于AE，所以角ABC=角EBC=90度再加条公共边BC,根据角边角定理三角形ACB全即是三角形ECB所以AC=EC所以三角形ACE为等腰三角形