Question

定积分题目

已知函数f(x)在负无穷到正无穷上连续且满足0到x的定积分∫ f(x-u)e^udu=sinx, x为全体实数，求f(x)

Answer 1

令x-u=t；则u=x-t；du=-dt
∫(下x上0) f(t)e^(x-t)d(x-t）=e^x∫(下0上x) f(t)e^(-t)dt=sinx
∴∫(下0上x)f(t)e^(-t)dt=-e^(-x)sinx
等式两边求导得：f(x)e^(-x)= e^(-x)(-1)sinx+ e^(-x)cosx
故f(x)=－sinx+cosx

追问

求导以后为什么得到的是sinx-cosx

追答

应该是－sinx+cosx ，改过来了。

追问

第二步-dt的负号怎么没有了？
等式两边求导得：f(x)e^(-x)= -e^(-x)(-1)sinx-e^(-x)cosx
f(x)=sinx-cosx
为什么我算出来是这个?为什么相差一个负号？哪里错了？

追答

调换积分限了。就是相差这个负号。

追问

没看见不好意思啊！不过对积分上限函数求导x不是应该在上面吗，否则是0-f(x)e^(-x)，前面要加负号了，∫(下0上x)f(t)e^(-t)dt 求导得到的不是f(x)e^(-x)吗？

追答

对
注意：在变量代换后的积分限是下x上0。

Answer 2

令x-u=t,则
左边=∫(下x上0) f(t)e^(x-t)d(x-t）=e^x∫(下0上x) f(t)e^(-t)dt,两边对x求导
e^x∫(下0上x) f(t)e^(-t)dt+e^x*f(x)e^(-x)=cosx
得f(x)=cosx-sinx

追问

d(x-t)=dt ?

追答

d(x-t)=-dt，负号用来改变积分上下限了

追问

没看见，不好意思啊！不过对积分上限函数求导x不是应该在上面吗，x在下面是0-f(x)e^(-x)，前面要加负号了，∫(下0上x)f(t)e^(-t)dt 求导得到的不是f(x)e^(-x)吗？

追答

对啊，我不就是这么写的么

追问

如果不把e^x移到右边，求导一次还是有x∫(下0上x) f(t)e^(-t)dt 求详细，不会做啊

追答

e^x∫(下0上x) f(t)e^(-t)dt不就是∫ f(x-u)e^udu么，就是sinx啊

Answer 3

x=26

追问

是求f(x)的表达式啊！

追答

ni sha bu yao guai wo ? ......