Question

已知函数f（x）=lg[（1-x）/（1+x）]

（1)判断奇偶性并证明
（2）判断并证明f（x）在定义域上的单调性

Answer 1

(1) f(-x)+f(x)=lg[(1-x)/(1+x)]+lg[(1+x)/(1-x)]=lg(1-x)(1+x)/[(1+x)(1-x)]=lg1=0
f(-x)=-f(x)
所以函数是奇函数
(2)函数的定义域为(-1，1)
f(x)=lg[(1-x)/(1+x)]=lg[(2-1-x)/(1+x)]=lg[2/(1+x) -1]
设-1<x1<x2<1，则0<1+x1<1+x2，所以　2/(1+x1) >2/(1+x2)
2/(1+x1) -1>2/(1+x2)-1
lg[2/(1+x1) -1]>lg[2/(1+x2)-1]
即f(x1)>f(x2)
从而f(x)在定义域上是减函数。

Answer 2

(1)f(-x)=lg{[(1-(-x)]/[1+(-x)]}=lg[(1+x)/(1-x)]=-lg[(1-x)/(1+x)]=-f(x)。奇函数。
(2)(1-x)/(1+x)>0，(x+1)(x-1)<0，定义域为：-1<x<1。
设-1<x1<x2<1，x2-x1>0，1-x1x2+(x2-x1)>1-x1x2-(x2-x1)
(1-x1+x2-x1x2)/(1+x1-x2-x1x2)>1。
f(x1)-f(x2)=lg[(1-x1)/(1+x1)]-lg[(1-x2)/(1+x2)]
=lg{(1-x1)(1+x2)/[(1+x1)(1-x2)]}
=lg[(1-x1+x2-x1x2)/(1+x1-x2-x1x2)]
>0。
所以，f(x)是减函数。

Answer 3

f(-x)+f(x)=lg[(1-x)/(1+x)+lg[(1+x)/(1-x)=lg1=0
所以函数是奇函数

Answer 4

f(x)=lg[(1-x)/(1+x)]=-lg[(1+x)/(1-x)]=-lg{1-(-x)/1+(-x)}=-f(-x),所以f（x）是奇函数
第二题书写过于麻烦，故略