Question

二重积分 求图求过程 谢谢谢

问题如图

Answer 1

远离高数很久，已经不熟练了 ，可能会算错……

下面的图是详细步骤。要注意的地方如下：

一：只要画出积分区域，观察对x积分时x的范围，将原二重积分化为先对y积分、再对x积分的累次积分就可以。

画积分区域很容易完成，可以自己做。如果我没有看错，y>=sqrt(2-x^2)应该表示圆心为原点、半径为sqrt 2的圆在上半平面的部分，y<=1+sqrt(1-x^2)应该表示圆心为(0,1)、半径为1的圆在直线y=1之上的部分（就是也是上半部分），积分区域应该是半径为1的圆超出半径为sqrt 2的圆的部分和半径为sqrt 2的圆所夹的部分（像帽子的那个部分）。显然，x限制在较小的圆（半径为1的圆）与y=1的两个交点的范围内，因此对x积分时x的范围与较小的圆的半径有关，为[-1,1]。

二：计算累次积分时涉及对sqrt(1-x^2)的积分。这其实是对sqrt(a^2-x^2)的积分(a>0)的特例，其结果我已经不加证明地写在图的开头，具体求解用换元x=asint，步骤在高数课本里面应该有。

三：最后的结果（没有算错的话= =）应该是2arcsin 1。在角度制下，arcsin1=90度。你要化成弧度还是角度都可以。另外，arcsin x在定义域[-1,1]内是奇函数，因此arcsin -1=-arcsin 1。

Answer 2

这个问题有个计算很简单的方法，基本上都不用怎么算。注意到积分区域可以看成一个半圆减去一个弓形，半圆由y=1+\sqrt(1-x^2)和y=1围成，弓形由y=\sqrt(2-x^2)和y=1围成。
所以可以在半圆上和弓形上分别算，算完了再相减。另外注意到2ydx∧ dy=d(-y^2dx)，所以可以使用Stokes公式。记半圆上积分是A，弓形上积分是B。
在半圆上，A=∫∫2ydxdy=∫∫2(y-1)dxdy+∫∫2dxdy=π+∫∫2(y-1)dxdy，把y-1换成y，范围变成0到\sqrt(1-x^2)，就得到A=π+∫∫2ydxdy=π-∫y^2dx=π+∫(1-x^2)dx，因为在半圆上积分从右到左，而x从-1积到1，所以这里符号反了一下。
同样在弓形上，B=-∫y^2dx=∫(2-x^2)dx-2，这是因为在水平线y=1上-∫y^2dx的结果是-2
结果就是A-B=π+∫(1-x^2)dx+2-∫(2-x^2)dx=π+2-∫dx=π+2-2=π