Question

如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B

1 请你用含x的代数式表示h
2 将△AMN沿MN折叠，是△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为Y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？
（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．

Answer 1

设AD为BC上的高，D为垂足，于是有AD=6，且AD⊥BC成立
设AD与MN交于点E
由MN‖BC，在△ABC中，可得比例：MN/BC=AM/AB
而在△ABD中，由MN‖BC，可得另一比例：AM/AB=AE/AD ①
且∠AEM=∠ADB=90°
于是，有AE/MN=AD/BC，且AE为△AMN中，MN上的高，有AE=h
代入AD=6,MN=8,AE=h,MN=x,可得到：
h=3x/4

而由于△A1MN是由△AMN沿MN翻折而来，两者处于同一平面，故，△A1MN≌△AMN
可得出：∠AMN=∠A1MN，AM=MD
连接AA1，设它与MN交于点E1，显然在△AME1和△A1ME1中，AM=A1M，∠AMN=∠A1MN，且ME1为公共边，于是△AME1≌△A1ME1，可得出：AE1=A1E1,∠AE1M=∠ME1D，显然，由于∠AE1M+∠ME1D=180°，可得出∠AE1M=∠ME1D=90°
也就是说，AE1⊥MN于E1,而之前已知AE⊥MN于E，根据“过直线外一点只能引出唯一一条垂直于该直线的垂线”这条定理，可得到E与E1是重合的，也就是说，A，E，A1，D点三点共线！且有AE=A1E=h=3x/4，AA1=AE+A1E=2h=3x/2 ②

显然，A1点必然落在AD所在直线上，而它是在线段AD上，还是在其延长线，抑或是干脆与D点重合，则决定了△A1MN与四边形MNCB重合的面积y的值，因此，对y与x的函数解析式展开分类讨论的标准就是A1点是否落在AD上（或是落在其延长线上）！

1°显然，当A1落在AD线段上的时候(包括与D点重合的情况)，△A1MN与四边形MNCB重合的面积就是△A1MN！（因为△A1MN完全包含于MNCB内）
由于△A1MN≌△A1MN，故：
y=S△A1MN=S△AMN=AE*MN/2=x*h/2=x*(3x/4)/2=3x^/8
显然，此种情况下，当A1恰好与D点重合时，此时的E点恰为线段AA1也就是AD的中点，而AD=6，故h=AE=3，x=4h/3=4，此时的MN也就是x恰为△ABC的中位线，M点正好位于线段AB的中点，它是A1落在AD线段上时候所能对应到的最大值；而当M点从AB中点的位置开始向A点靠近时，可以想象，x的值是在逐渐从4减小的，而A1的位置则从D点开始向E点以及A点靠近，直至无限接近于A点的位置，这个过程中，x无限趋近于0，但是无法达到0值（否则，M将与A点重合，不合题意！）
也就是说，当0<x≤4时，M点由无限接近于A点的位置出发，沿AB边向B点移动，直至其达到AB中点，在这个过程中，y都是△A1MN的面积，有y=3x^/8成立 ③

2°当A1超过AB中点继续向B点移动时，此时的x>4,由②式，可得：AA1=3x/2>6，也就是说，它已经超出了AD的长度，A1来到了AD延长线上，此时，y的值变为△A1MN的一部分！
设A1M与BC交于F，A1N与BC交于点G
则，y就应该是梯形MNGF的面积
∵A1D⊥BC，A1E⊥MN（很容易证，不再多说），可很容易得出：
A1D/AE=FG/MN
而A1D=AA1-AD=2h-6=3x/2 -6
MN=x,A1E=AE=h=3x/4
于是可得出:
FG=2x-8
另有：DE=A1E-A1D=6- 3x/4
于是，梯形MNGF的面积也就是y可得：
y=(FG+MN)*DE/2
=-9x^/8 + 12x -24
显然，当M与B重合之前，y一直是这个表达式；当M与B重合时，此时x=BC=8，于是，此阶段x的取值范围是4<x<8

综上所述，y与x的函数解析式为：
y=3x^/8 0<x≤4；
y=-9x^/8 +12x -24 4<x<8

在第一个抛物线解析式中，其对称轴为0，所以y在(0,4]区间上是单调增的，其最大值应在x=4处获得，为：ymax1=3*4^/8=6

而在第二个抛物线解析式中，可求出其对称轴为x=16/3，位于这个分段函数的定义域区间(4,8)之间，故其最大值应在其对称轴处取得（因为抛物线开口向下！），为其定点的纵坐标，可求得为ymax2=8

两个区间上的函数值一比较，显然y=8更大！
所以，函数在x=16/3时，取得最大值8赞同165| 评论(2)

Answer 2

1，三角形AMN 和三角形 ABC 相似
所以 x/h=8/6 h=3/4x
2，A点要落在平面内，所以当h=6/2=3时
面积最大
s=6×8÷2-3×4÷2=18

Answer 3

1.（1）解：有相似三角可得：

h：6=x：8

即h=3x/4(0<x<8,0<h<6)

(2)解：根据题意可得：

①当A1落在BC边或其边时（即0<h≤3,0<x≤4时）
y1=x×3x/4
=3x²/4
可知当x=4时，y1最大且=12

②当A1落在BC外边时（即3<h<6,4<x<8时）
y2=（x+8）（6-3x/4)/2-BA1(6-3x/4)-A1C(6-3x/4)
=-3x²/8+3x=-3/8(x-4)²+6
（这个是指用梯形面积-两个三角形，自己画画就出来了。）
可知当x=4时，y2才有最大值且=6（但由它的范围可知x=4是不存在的，只是比较一下。）
显然y2<y1

∴可判断出，当x=4时，y有最大值且为12。

Answer 4

1. hHJBFVJSDNBUOWDHMDEOUFOIHVAW0]Hkl"zm