Question

证明偶数阶群必含2阶元。（离散数学）

请给出详细的证明过程，每一步后面写明依据或理由。

Answer 1

证明：群中的每一个元素的阶均不为0 且单位元是其中惟一的阶为1的元素。因为任一阶大于2 的元素和它的逆元的阶相等。且当一个元素的阶大于2 时，其逆元和它本身不相等。故阶大于2 的元素是成对的。从而阶为1的元素与阶大于2 的元素个数之和是奇数。

因为该群的阶是偶数，从而它一定有阶为2 的元素。

关于偶数和奇数，有下面的性质：

（1）两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数与奇数的和或差是偶数；偶数与奇数的和或差是奇数；任意多个偶数的和都是偶数；单数个奇数的和是奇数；双数个奇数的和是偶数；

（3）两个奇（偶）数的和或差是偶数；一个偶数与一个奇数的和或差一定是奇数；

（4）除2外所有的正偶数均为合数；

（5）相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。

Answer 2

群阶为偶数（设为2n）,则群中必有一元素a，a的2n阶为e,a的1阶，2阶，一直到2n阶必在群中，a的n阶即为阶为2的元素。

设G是群，e是其幺元，H={x：x*a=a*x}，由e*a=a*e可知e属于H，H非空，设x，y属于H，则

x*a=a*x，y*a=a*y，故得a*y^-1=y^-1*a，（x*y^-1）*a=x*（a*y^-1）=a*（x*y^-1）。

则x*y^-1属于H，由子群判定定理可知H是子群。

关于偶数和奇数，有下面的性质：

（1）两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数与奇数的和或差是偶数；偶数与奇数的和或差是奇数；任意多个偶数的和都是偶数；单数个奇数的和是奇数；双数个奇数的和是偶数；

（3）两个奇（偶）数的和或差是偶数；一个偶数与一个奇数的和或差一定是奇数；

（4）除2外所有的正偶数均为合数；

（5）相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半；

以上内容参考：百度百科-偶数

Answer 3

构造法证明：
群阶为偶数（设为2n）,则群中必有一元素a，a的2n阶为e, a 的1阶，2阶，一直到2n阶必在群中，a的n阶即为阶为2的元素。
正常方法：
根据Sylow第一定理：G是有限群，p是素数，如果p^k||G|，k>=0，那么G中一定有一个阶为p^k的子群。
令p=2，k=1，则G有一个2阶子群，所以G中一定有2阶元。