Question

求助一道数学题:已知直线L:x+2y=0,P是椭圆x^2/4+y^2=1上任意一点,求点P到直线L的距离的最大值?

Answer 1

用参数方程，椭圆上的点为（2cosθ，sinθ），点到直线的距离为|2cosθ+2sinθ| /√（1+2^2）
=2|cosθ+sinθ| /√5 =2√2 |sin(θ+π/4)| /√5
其最大值为sin(θ+π/4)= 1或 -1时，
最大值为2√2 /√5

Answer 2

设 P（x，y），则 x^2+4y^2=4 ，P到直线的距离的平方为
d^2=|x+2y|^2/(1+4)=1/5*(x^2+4y^2+4xy)=1/5*(4+2*x*2y)<=1/5*{4+[x^2+(2y)^2]}=8/5，
所以，当且仅当 x=2y 即 x=2y=±√2 时，最大距离为2√10/5 。

Answer 3

柯西不等式得.√(x^2/4+y^2)√(4+4)>=|x+2y|,所以|x+2y|<=2√2
d<=|x+2y|/√(1+4)=2√2/√5