Question

如图,已知圆O1与圆O2外切于点A,圆O1的弦CA的延长线交圆O2于点D,过点D作圆O2的切线

如图,已知圆O1与圆O2外切于点A,圆O1的弦CA的延长线交圆O2于点D，过点D作圆O2的切线BD,求证O1C⊥BD。

Answer 1

证明：因为 圆O1与圆O2外切于点A，
所以 圆O1与圆O2在点A处有一条公切线，
过点A作出这条公切线MN，
则有 角MAD=角AO2D的一半，角NAC=角AO1C的一半（弦切角等于它所夹弧对的圆心角的一半）。
因为 角MAD=角NAC（对顶角相等），
所以 角AO2D=角AO1C，
所以 O1C//O2D，
因为 BD切圆O2于点D，
所以 O2D垂直于BD，
所以 O1C垂直于BD。