Question

1平方+2平方=3平方+……+（n-1）平方=n(n-1)(2n-1)

要过程

Answer 1

感觉你的公式不对，正确的应该是：
1^2+2^2+3^2+.....+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6
可以用数学归纳法证明。当n=1的时候，1^2=1， 而1^2*(1+1)(2*1+1)/6=1。假设当n=k,(k>1)的时候成立，当n=k+1时，1^2+2^2+3^2+.....+k^2+(k+1)^2=k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)(k(2k+1)+6k+6)/6=(k+1)(2k+3)(k+2)/6=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6，所以由归纳法可知以上的公式是正确的。

其实我们可以用积分来近似求解类似的求和公式: 将函数x^2在[0,n]上求积分，可得n^3/6，这个值可以作为上式的近似值。

Answer 2

应该是：证明 1平方+2平方=3平方+……+（n-1）平方=n(n-1)(2n-1)/6
利用恒等式： (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
....................................................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得： n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得： 1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+3^2+....+（n-1）^2=n(n-1)(2n-1)/6
楼主的答案要再除以6啊。

Answer 3

你的公式记错了吧？
少了分母6，应该是n(n-1)(2n-1)/6，其次是+3^2,
用数学归纳法证明。
n>2,
1、当n=3时，左边=1^2+2^2=5,
右边=3*(3-1)*(2*3-1)/6=5,
∴等式成立。
2、假设n=k时，等式成立，
1^2+2^2+3^2+....+(k-1)^2=k*(k-1)*(2k-1)/6,
则n=k+1时，
1^2+2^2+3^2+....+(k-1)^2+k^2=k*(k-1)*(2k-1)/6+k^2
=k*[(k-1)*(2k-1)/6+k]
=k*(2k^2-3k+1+6k)/6
=k(2k*2+3k+1)/6
=k(2k+1)(k+1)/6
=(k+1)[(k+1)-1)[2(k+1)-1]/6,
∴当n=k+1时，等式成立，
故等式成立。

Answer 4

这个等式是错误的，应该是1²+2²+3²+……+（n-1）²=n(n-1)(2n-1)/6
可以用数学归纳法证明。
当n=2时，等式显然成立。
假设当n=k（k≥2）时等式成立，即1²+2²+3²+……+（k-1）²=k(k-1)(2k-1)/6。则当n=k+1时，1²+2²+3²+……+（k-1）²+k²=k(k-1)(2k-1)/6+k²=（k（k+1）（2k-1）+6k²）/6=k[(k-1)(2k-1)+6k]/6=k(k+1)(2k+1)/6。即当n=k+1时，等式也成立，从而对任意大于1的正整数n，等式都成立。