Question

如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连结AE，点F是AE的中点，连结BF、DF，试说明BF⊥DF

Answer 1

解：连接CF
∵Rt△ABE中，点F是AE的中点
∴BF=1/2AE=AF
∴∠FAB=∠FBA
∴∠FAB+∠BAD=∠FBA+∠ABC
即∠FAD=∠FBC
∵AD=BC
∴△FAD全等于△FBC
∴∠AFD=∠BFC
∵CE＝AC, AF=EF
∴CF⊥AE(三线合一）
∴∠AFD+∠DFC=∠FBC+∠DFC=90°
∴BF⊥DF

Answer 2

证明：连接CF
∵CE＝AC，F是AE的中点
∴CF⊥AE （三线合一）
∴∠AFC＝90
∴∠AFD+∠CFD＝90
∵矩形ABCD
∴AD＝BC，∠ABE＝∠BAD＝∠ABC＝90
∴AF＝BF＝CF （直角三角形中线特性）
∴∠ABF＝∠BAF
∵∠FAD＝∠BAD+∠BAF，∠FBC＝∠ABC+∠ABF
∴∠FAD＝∠FBC
∴△AFD≌△BFC （SAS）
∴∠BFC＝∠AFD
∴∠BFD＝∠BFC+∠CFD＝∠AFD+∠CFD＝90
∴BF⊥DF

Answer 3

延长BF交DA延长线于H，
由AH//BF，AF=EF易证全等进而得BF=HF，AH=BE，继续CE=AC=BD=DH,再由三线合一得DF垂直于BH，结论可得。

Answer 4

(⊙_⊙)？