Question

如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F

如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F
（1） 如图1 连接CF 证明 ∠ABE=∠ACF
(2) 如图2 当∠ABC=60°时 证明 FA FA FE 三者间的数量关系
（3）如图3 当∠ABC=45°时 若 BD平分∠ABC ，求证BD=2EF

Answer 1

(1)证明:∵AB=AC;AB=AE,∠ABE=∠AEF.
∴AE=AC;又AF=AF,∠EAF=∠CAF.
∴⊿EAF≌⊿CAF(SAS),∠ACF=∠AEF.
故:∠ABE=∠ACF.(等量代换)
(2)估计想问“FA，FB,FE三者之间的关系吧？！”
FA+FE=FB。
证明:在AF延长线上取点G,使FG=FC,连接CG.
∵∠ABE=∠ACF;∠ADB=∠FDC.
∴∠CFD=∠BAD=60°(等边三角形每个内角为60度)
∵⊿EAF≌⊿CAF(已证),∠AFE=∠AFC.
∴∠CFG=∠EFG=(180°-∠CFD)=60°,即⊿CFG为等边三角形,
则∠FCG=60°=∠BCA,∠ACG=∠BCF;CG=FG=FC=FE.
又AC=BC.故⊿ACG≌⊿BCF(SAS),AG=FB,即FA+FG=FB,FA+FE=FB.
(3)证明:⊿ABC为等腰直角三角形,BE平分∠ABC.
则∠ABD=(1/2)∠ABC=22.5°.又AB=AE,故∠AEF=∠ABD=22.5°.
取BD的中点O,连接AO,则AO=BD/2=BO,∠OAB=∠OBA=22.5°,∠AOD=45°;
∵∠ABD=∠ACF(已证);∠ADB=∠FDC.
∴⊿ABD∽⊿FCD,AD/FD=BD/CD;
又∠ADB=∠FDC,则⊿ADF∽⊿BDC.(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
∴∠AFD=∠BCD=45°,∠EAF=∠AFD-∠AEF=22.5°=∠AEF,得AF=EF.
故∠AFD=∠AOD,EF=AF=AO=(1/2)BD,即BD=2EF.