Question

在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边上的中线AC=7/2，那么BC=？

Answer 1

BC边上在中线AC=7/2 ? (表述有问题吧？)

如果说BC边上的中线AD=7/2，那么可按如下方法列方程求解：
方程1，在三角形ABD中，AB^2+AD^2-2*AB*AD*COS(X)=BD^2，
代入已知数得：4^2+(7/2)^2-2*4*7/2*COS(X)=BD^2 ----------（1）
方程2，在三角形ADC中，AC^2+AD^2-2*AC*AD*COS(Y)=DC^2，
代入已知数得：7^2+(7/2)^2-2*7*7/2*COS(Y)=DC^2 ----------（2）
方程3，在三角形ABC中，AB^2+AC^2-2*AB*AC*COS(X+Y)=BC^2，
代入已知数得：4^2+7^2-2*4*7*COS(X+Y)=(BD+DC)^2---------（3）
方程4，BD/SIN(X)=4/SIN(∠ADB)=4/SIN(∠ADC)=4/7*7/SIN(∠ADC)=4/7*DC/SIN(Y)，
故BD/SIN(X)=4/7*SIN(Y) -----------(4)
将(1)(2)(3)(4)联立成一个四元方程组，求解该方程就能得到BD、DC，进而得到BC的长度。
（个人想法，仅供参考，没有实际计算过）

我又想到一个方法，这个更简单，呵呵：
在BC另一侧，构造一点A'，使得ABA'C成为一个平行四边形，这样原题就变得十分简单了。
即是在等边三角形ACA'中，已知AC=AA'=4，A'C=4，求AA'的中点D到C 的距离（再*2=BC）：
读图即得：∠AA'C=ARCCOS(2/7)
过C作CE⊥AA'
则，CE=A'C*SIN(∠AA'C)=4*SIN(∠AA'C)=12*SQRT(5)/7
A'E=A'C*COS(∠AA'C)=4*2/7=8/7
DE=A'D-A'E=7/2-8/7=33/14
CD=SQRT(CE^2+DE^2)=SQRT(144*5/49+1089/196)=4.5
所以BC=9。

Answer 2

中线是AD吧。。。
因为D是中点,根据正弦定理:
sinBAD/sinCAD=7/4

设cosBAD=x,cosCAD=√(33+16x²)/7
根据余弦定理:
BD²=AB²+AD²-2AB.AD.x=AC²+AD²-2AC.AD √(33+16x²)/7

x=2/7

BD²=AB²+AD²-2AB.AD.x
=81/4
BD=9/2

BC=9