Question

在RT三角形ABC中,∠ACB等于90°,CD垂直与AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,求证CE=CF

2.将图中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，使点E'落在BC的边上，其他条件不变，如图17所示，是猜想；BE'与CF有怎样的数量关系？、证明你的结论哦

Answer 1

（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，

（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．

（1）证明：∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠EAD，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAF+∠CFA=90°，

∵CD⊥AB于D，

∴∠EAD+AED=90°，

∴∠CFA=∠AED，

∵∠AED=∠CEF，

∴∠CFA=∠CEF，

∴CE=CF；

（2）BE′=CF．

证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，

又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，

∴ED=EG．

由平移的性质可知：D′E′=DE，

∴D′E′=GE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°

∵CD⊥AB于D，

∴∠B+∠DCB=90°，

∴∠ACD=∠B，

在Rt△CEG与Rt△BE′D′中， ，

∴△CEG≌△BE′D′，

∴CE=BE′，

由（1）可知CE=CF，

∴BE′=CF．