Question

如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=8cm，腰长为5cm，以BC所在直线为x轴，以BC边上的高所在的直线为y轴

如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=8cm，腰长为5cm，以BC所在直线为x轴，以BC边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）直接写出点A，B，C的坐标．
（2）一动点P以0.25cm/s的速度沿底边从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P运动的时间为t（单位：s）．
①写出△APC的面积S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
②当t为何值时，△APB为等腰三角形？并写出此时点P的坐标．
③当t为何值时PA与一腰垂直？

Answer 1

分析：（1）等腰三角形的高线，中线，角平分线在重合．从而可写出坐标．
（2）①根据BC的长可求出t的取值范围，根据三角形的面积公式可表示出S和t的关系式．
②因为P与C不能重合，所以只有一种情况BP=AP．
③当PA⊥AC时和PA⊥AB时，分两种情况求出解

解答：解：（1）A（0，3），B（-4，O），C（4，O）；

（2）①BP=0.25t，PC=8-0.25t．S=1/2PC•AO=1/2（8-0.25t）×3=-3/8t+12（0＜t＜32）．
②当AP=AB时，P与B或C重合，不可能；
当BP=AP时，0.25t=根号(（4-0.25t）^2+3^2)，解得t=12.5．此时PO=4-0.25t=7/8
∴P（-7/8,0)）．当BP=AB时，BP=5，
∴PO=1，即P（1，0）．
③当PA⊥AC时，PA2+AC2=PC2，即（4-0.25t）2+32+52=（8-0.25t）2，
∴t=7．当PA⊥AB时，PA2+AB2=PB2，
即（0.25t-4）2+32+52=（0.25t）2，
∴t=25．

Answer 2

A(0,3) B(-4,0) C(4,0) 高为3
1 s=1/2 * (8-0.25t) * 3=12-0.375t 0=<t<32
2 首先判断P 点一定在OC之间 （0.25t）^2=(0.25t-4)^2+3^2 得t=12.5
3 PA与AB的点乘积为0 （-4，-3）·（0.25t-4，0）=0 得 t=16

Answer 3

（1）点A，B，C的坐标分别为：
A(0，3) ，B(-4，0) ，C(4，0)；

（2）①S=S△APC=½CP*3
=3/2 (8-0.25t)
=-3/8t+12，
自变量t的取值范围是；0 ≤ t ≤ 32；

②当BP=BA=5时，即：1/4 t=5，t=20，点P（1，0）；
当BP=AP时，点P在AB线段的中垂线上，
此时过AB的中点（-2，3/2）且垂直于AB的直线解析式为
y=-4/3X-7/6，当y=0时，X=-7/8，
即1/4 t=4-7/8， t=25/2，点P（-7/8，0）；

③当PA⊥AC时，直线PA的解析式为：y=4/3X+3，
当y=0时，X=-9/4，
即P（-9/4，0），BP=7/4，t=7；
当PA⊥AB时，直线PA的解析式为：y=-4/3X+3，
当y=0时，X=9/4，
即P（9/4，0），BP=25/4，t=25。
综上所述，t=25或t=7时，PA与一腰垂直。

Answer 4

（1）A（0,3） B（-4,0） C（0，-4）
（2）①0.375t (0<t<32)