Question

高数定积分面积，求助高手啊！！

（1）y=x²—x+2与通过坐标原点的两条切线所围成的图形
（2）y²=2x与点（0.5,1）处法线所围成的图形
谢谢大家~但是只能采纳一个最佳答案！！

Answer 1

两题不难，但写起来过程较长，数学符号又不方便打，不写过程了，（1）题的计算结果是4根号2除以3，（2）题的计算结果是16/3 （不知道有没算错？）

（第一题以y轴所围区域分成两块分别积分求面积，在每一块里面，在积的时候先积 y ，从下标直线方程积到上标抛物线方程，再积x。左侧这一块横坐标从切点横坐标积到0；右边这一块从 0 积到右侧切点横坐标。

第二题，抛物线函数对 x 求导，把交点x代入，得到切线斜率，再取其负倒数，得到法线斜率，这样法线方程就知道了，然后和抛物线方程联解，得到下面这个交点坐标。然后再进行积分求面积，积的时候先积 x ，从抛物线积到直线，再积 y ，从下面交点纵坐标积到上面交点纵坐标。）

追问

是啊是啊！就是这个答案！！可是文字好难懂啊！我数学非常糟糕！你可不可以写下来照张照片发到我邮箱呢？！拜托你了！！十分感谢！！！！！320274024@qq.com

追答

那你要等一下，此刻没带相机，下班了回去照了给你。

追问

要记得啊！谢谢谢谢了！如果有图就更好了

追答

拍了照片放在这里，你自己去下载吧：
http://hi.baidu.com/flyskyxx/album/Photo

Answer 2

1
y=kx
kx=x^2-x+2
x^2-(1+k)x+2=0
(1+k)^2-4*2=0
(1+k)^2=8
y=(-1+2√2)x 和y=(-1-2√2)x
y=-1+2√2x和y=x^2-x+2 相切于 A(√2,3)
y=-1-2√2x和y=x^2-x+2 相切于B(-√2,-5)
AB直线 y-3=[(-5-3)/2√2](x+√2)=-2√2x-4
y=-2√2x-1
y=-1+2√2x和y=-1-2√2x 交于P(0,-1)
Sabo=∫[-√2,0] [(x^2-x+2)-(-1-2√2x)] dx+∫[0,√2](x^2-x+2)-(-1+2√2x)]dx
=∫[-√2,0](x+√2)^2dx+∫[0,√2](x-√2)^2dx
=(1/3)2√2+(1/3)2√2=4√2/3

2
y^2=2x 切线斜率为y' 法线斜率为-1/y'=-x'
x'=y x'(0.5,1)=1
y-1= -(x-0.5)
y=-x+1.5
y^2=2x
y^2=2*(1.5-y)=3-2y
y^2+2y-3=0
y1=1,y2=-3
x1=1/2 x2=9/2
S=∫[-3,1] [(1.5-y)-y^2/2]dy=(1/2)∫[-3,1](-y^2-2y+3)dy
=(1/2)[(-1/3-1+3)-(-27/3-9+(-9)]
=(1/2)(18+32/3)
=9+16/3

Answer 3

（1）
y’=2x-1
y=kx
kx=x^2-x+2
2x-1=k x=(k+1)/2
k(k+1)/2=((k+1)/2)^2-(k+1)/2+2
2k^2+2k=k^2+2k+1-2k-2+2
K^2+2k-1=0
K=2^0.5-1 k=-2^0.5-1
x1=2^0.5/2 x2=-2^0.5/2
y=(2^0.5-1)x y=(-2^0.5-1)x
∫(0,-2^0.5/2)(x^2-x+2-(-2^0.5-1)x)dx+∫(2^0.5/2,0) (x^2-x+2-(2^0.5-1)x)dx=-((-2^0.5/2)^3/3+2^0.5 (-2^0.5/2)^2/2+2(-2^0.5/2))+ (2^0.5/2)^3/3-2^0.5 (2^0.5/2)^2/2+2(2^0.5/2)
=(2^0.5/2)^3/3-2^0.5 (2^0.5/2)^2/2+2(2^0.5/2)+ (2^0.5/2)^3/3-2^0.5 (2^0.5/2)^2/2+2(2^0.5/2)
=2^0.5/12-2^0.5/4+2^0.5
=1.17851

（2）
y^2=2x
x=y^2/2
x’=y
y=1 x’=1
y-1=-(x-0.5) x=-y+1.5
x=y^2/2 x=-y+1.5
y^2/2=-y+1.5
y=1 y=2
∫(2,1)( -y+1.5- y^2/2)dy
=-y^2+1.5y-y^3/6|(2,1)
=-4+3-8/6+1-1.5+1/6
=2.6667

Answer 4

给了您个思路，结果自己计算。