Question

数学大侠来帮忙，这题我一直不懂

2007•宁波）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．
（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）

Answer 1

1）连接AC、BD，交点为E，除E点外，AC上任意一点均可以为P点，即所求。
2）连接AC，连接BD，作BD的中垂线交AC于P点，p点为所求。
3）∵∠CDF=∠CBE, ∠DPE=∠BPF, ∴∠PEC=∠PFC ∴△PEC和△PFC为全等三角形，
∴PE=PF；∴△PED和△PFB为全等三角形，∴PD=PB，得证；
4）不难发现，满足PD=PB，那么P点在BD的中垂线上，P点又在AC上，所以P点是BD的中垂线与直线AC的焦点，那么P点的个数要么为一个，要么无穷多个（当且仅当BD的中垂线与AC重合，像（2）中的菱形）