Question

在△ABC中,求证: a=bcos C+ccos B; b=ccos A+acos C; c=acos B+bcos A.

Answer 1

证明：由正弦定理指导:a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C
∵在△ABC，A+B+C=180°
∴sinA=sin(180°-B-C)=sin(B+C)
则：bcosC+ccosB=2RsinBcosC+2RsinCcosB=2R(sinBcosC+sinCcosB)=2Rsin(B+C)=2RsinA=a
即：a=bcosC+ccosB

同理：ccosA+acosC=2RsinCcosA+2RsinAcosC=2R(sinCcosA+sinAcosC)=2Rsin(A+C)=2RsinB=b
可证：b=ccosA+acosC。

同理：acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2R(sinAcosB+sinBcosA)=2Rsin(A+B)=2RsinC=c
可证：c=acosB+bcosA。