Question

双曲线的右准线是y轴，其右支过点M（1，2），且它的虚轴长、实轴长、焦距顺次成等差数列，

双曲线的右准线是y轴，其右支过点M（1，2），且它的虚轴长、实轴长、焦距顺次成等差数列，求实轴最长的双曲线的方程

Answer 1

根据题意，2b,2a,2c成等差数列，所以有：
2a*2=2b+2c
即2a=b+c.
对于双曲线有：
c^2=a^2+b^2
即：a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b),得到：
c-b=a/2
所以c=5a/4,b=3a/4.
根据题意，准线方程为x=±a^2/c=±4a/5.
所以双曲线的方程为：
(x+4a/5)^2/a^2-y^2/b^2=1
点M代入求出a即可。

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Answer 2

解：
可设双曲线方程为
[(x-p)²/(16r²)]-[(y-q)²/(9r²)]=1
(r＞0, p,q∈R)
由题设可知
p+(16r/5)=0,且
[(1-p)²/(16r²)]-[(2-q)²/(9r²)]=1
易知，[(1-p)²/(16r²)]-1=(2-q)²/(9r²)≥0
即(1-p)²≥16r²
即[(5+16r)/5]²≥16r²
∴5+16r≥20r
∴r≤5/4
∴当r=5/4时，实轴长(2a)max=10
此时q=2, p=-(16r/5)=-4
∴椭圆方程为
[(x+4)²/25]-[(y-2)²/(15/4)²]=1

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Answer 3

(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1

2b+2c=2*2a c^2=a^2+b^2 (2a-b)^2=a^2+b^2
3a=4b c^2=a^2+b^2=a^2+9a^2/16=25a^2/16
c=5a/4, b=3a/4
a^2/c=a^2/(5a/4)=4a/5
h=-4a/5
(x+4a/5)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1
(1+4a/5)^2/a^2-(2-k)^2/(9a^2/16)=1
k=2时实轴最长
(1+4a/5)^2/a^2=1
1+4a/5=a
a=5 ,b=15/4 c=25/4 h=-4
双曲线方程
(x+4)^2/25-(y-2)^2/(15/4)^2=1

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