Question

有关高等数学，可降阶微分方程的问题

微分方程 y'' = y' ( 1+y'2 )
注意(既不显含x也不显含y)这种情况该如何设呢？

Answer 1

设p=y'
则y''=p'
故原式可化为p'=p(1+p²)
此为可分离变量的一阶微分方程
得p'/[p(1+p²)]=1
两边积分得
x+C=∫1/[p(1+p²)]dp=1/2∫[1/p²-1/(1+p²)]d(p²)
=1/2ln[p²/(1+p²)]
所以p²/(1+p²)=C1e^2x(C1为任意常数)
解得p=√[C1e^2x/(1-C1e^2x)]
然后再次积分即可得y=∫pdx=……
通常你觉得哪种方法容易就用那种方法，没有固定最好的

追问

你好，先谢谢你及时帮助！在高数书上可降阶微分方程，介绍了不显含x的可降阶微分方程和不显含y的可降阶微分方程这两种。
象这种同时不显含x和不显含y的情况该如何处理？

设p=y'
则y''=p' 应该是用于不显含y的可降阶微分方程

追答

建议两种方法都试解一下
哪种方法比较简单就用哪种方法
没有固定最好的方法

追问

你的意思是不是这样：
情况1：当不显含y时，设p=y'
则y''=p'
情况2：当不显含x时，设p=y'
则y''=p 乘以dp/dy
情况3：当同时不显含x和y时，可以用（设p=y' 则y''=p 乘以dp/dy ）也可以用（设p=y'
则y''=p' ）
是这样吗？？

追答

是的
但对于情况3，还是要具体问题具体分析
哪种方法容易就用那种方法

追问

哦！对于情况3到底是用（设p=y' 则y''=p 乘以dp/dy ）还是用（设p=y'
则y''=p' ）取决于这两种方法谁更容易求解，对吧？
谢谢你！！！

追答

你终于理解了我的意思