Question

如图，已知:一次函数Y=KX+B的图像与X轴,Y轴分别交于点A(1,0），B（0，根号3），且角ABO=30度.

如图，已知:一次函数Y=KX+B的图像与X轴,Y轴分别交于点A(1,0），B（0，根号3），且角ABO=30度。

（1）求一次函数的解析式；

（2）设O为坐标原点，点C的坐标为（3分之1，0），点D在AB上，且点D的横坐标为3分之1，P为OB上一动点，求1，点D的坐标；求2，PC+PD的最小值；求3，当PC+PD取得最小值时，求P点坐标。

Answer 1

解:(1)一次函数y=kx+b图象过点A（1，0）、B（0，√3），则：
0=k+b;
√3=b.
可求得k=-√3.
故一次函数解析式为:y=(-√3)x+√3.
(2)
1.点D横坐标为1/3,且点D在AB上.
把X=1/3代入y=(-√3)x+√3,得y=2√3/3.
故点D为(1/3, 2√3/3).
2.取点C关于Y轴的对称点C',连接C'D交Y轴于P,连接PC.此时PC+PD最小.
∵点C和C'关于Y轴对称.
∴PC'=PC,故PC+PD=PC'+PD=C'D.根据"两点之间,线段最短"可知此时C'D最小.
【若想证此时PC+PD最小,可在Y轴上另取点P'(异于P),则:PC+PD=PC'+PD;P'C+P'D=P'C'+P'D.
根据三角形三边关系可知:PC'+PD<P'C'+P'D,即PC+PD<P'C+P'D.得证. 】
故PC+PD=C'D=√(C'C²+CD²)=√(4/9+4/3)=4/3.
3.∵⊿POC'∽⊿DCC'.
∴PO/DC=C'O/C'C=1/2,PO=(1/2)DC=√3/3.故点P为(0,√3/3).

Answer 2

题目有误，∠ABO不等于30度，应该等于60度，不过不需要这个条件。
一次函数的解析式：（y-0)/(x-1)=(√3-0）/（0-1）整理得y=-√3x+√3
（2），1.将1/3代入y=-√3x+√3 解得y=2√3/3.所以D=（1/3，2√3/3）
2.设D在AO上的垂足为H，根据光学的最短路程原理：P点应取在HO的中点（0，√3/3）上，此时
PC+PD的最小值=2√（（√3/3)^2+(1/3)^2）=4/3

Answer 3

（1）与Y轴交点为（0，√3），所以B=√3；再把A点坐标代进函数式可算得y=-√3x+√3
（2）把D点横坐标x=1/3代入方程得D（1/3，(2√3)/3）
两点之间直线最短，作C关于Y轴的对称点E（-1/3，0），PC+PD的最小值即为DE=4/3
将D、E坐标代入一次函数式最后得方程y=√3x+（√3）/3，所以P（0，（√3）/3）