Question

设集合A=｛x∈R|x2+4x=0｝，B=｛x∈R|x2+2（a+1）x+a2－1=0｝，若A∩B=B，求实数a的值．

Answer 1

A={x|x²+4x=0}={-4,0}
B={x|x²+2(a+1)x+a²-1=0}

若A∩B=B,则集合B是集合A的子集。
所以B=空集或B={-4}或B={0}或B={-4,0}
①B=空集
Δ=8a+8＜0
a＜-1
②B={-4}
由韦达定理有(-4)+(-4)=-2(a+1),(-4)*(-4)=a²-1
所以a无解
③B={0}
由韦达定理有0+0=-2(a+1),0*0=a²-1
所以a=-1
④B={-4,0}
由韦达定理有(-4)+0=-2(a+1),(-4)*0=a²-1
所以a=1

所以a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}

Answer 2

A={x|x²+4x=0}={-4,0}
B={x|x²+2(a+1)x+a²-1=0}
A∩B=B
所以B=空集或B={-4}或B={0}或B={-4,0}
①B=空集
Δ=4(a+1)²-4(a²-1)＜0
a＜-1
②B={-4}
Δ=4(a+1)²-4(a²-1)=0,16-8(a+1)+a²-1=0
无解
③B={0}
Δ=4(a+1)²-4(a²-1)=0,a²-1=0
a=-1
④B={-4,0}
16-8(a+1)+a²-1=0,a²-1=0
所以a=1

综上，实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}

Answer 3

∵A∩B=B
∴B∈A
∵x2+4x=0
x1=0
x2=-4
A=｛0，-4｝
分情况讨论
①当B=｛0｝时
a=1/2
②B=｛-4｝
a=6/7
③B=空集
Δ<0
a∈R