Question

在三角形ABC中，AB=AC，AD是三角形ABC外角的平分线，已知∠BAC＝∠ACD。求证三角形A

在三角形ABC中，AB=AC，AD是三角形ABC外角的平分线，已知∠BAC＝∠ACD。求证三角形ABC≌三角形CDA；若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形。

Answer 1

证明：因为     AB=AC（已知），

          所以     角B=角C（同一三角形中，等边对等角）， 

         因为      角AFC是三角形ABC的个角，

          所以      角FAC=角B+角C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

          所以       角B=角C=角FAC/2，

          因为       AD平分角FAC，

          所以       角FAD=角DAC=FAC/2（角平分线的定义），

          所以       角B=角FAD（等量代换），

          所以       AD//BC（同位角相等，两直线平行），

          因为       角BAC=角ACD，

          所以       AB//DC（内错角相等，两直线平行），

          所以       四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），

相关知识

1.    平行线的判定定理：a)  同位角相等，两直线平行。              

                                      b)  内错角相等，两直线平行。

                                      c)  同旁内角互补，两直线平行。

2.    三角形的外角：a)  定义     三角形的一边和另一边的反向延长线组成的角

                                                叫做三角形的外角。

                              b)  性质      三角形的任何一个外角都等于和它不相邻的两内角的                                                  和，大于和它不相邻的任一内角。

3.   平行四边形的判定：a)  利用定义

                                          两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

                                    b)  利用判定定理

                                         定理一. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

                                         定理二. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

                                         定理三. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

                                         定理四  两组对角分别相等的平行四边形是平行四边形。

Answer 2

 

Answer 3

该题的证明过程如下：
证明：（1）∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB,
∵AD平分∠FAC,
∴∠FAC=2∠CAD,
∴∠CAD=∠ACB,
∵在△ABC和△CDA中
∠BAC＝∠DCA AC＝AC ∠DAC＝∠ACB ,
∴△ABC≌△CDA；
（2）∵∠FAC=2∠ACB,∠FAC=2∠DAC,
∴∠DAC=∠ACB,
∴AD∥BC,
∵∠BAC=∠ACD,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠B=60°,AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形．