Question

设f(x)在[a,b]上有二阶导数，且f''(x)>0，证明：函数F(x)=[f(x)-f(a)]

设f(x)在[a,b]上有二阶导数，且f''(x)>0，证明：函数F(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a) 在(a,b]上是单调增加的

Answer 1

F'={f'(x)(x-a)-[f(x)-f(a)]}/(x-a)^2
原命题等价于证f'(x)(x-a)-[f(x)-f(a)]>=0
G=f'(x)(x-a)-[f(x)-f(a)],a<=x<=b
G'=f''(x)(x-a)+f'(x)-f'(x)=f''(x)(x-a)>0
可见G为增函数，G>=G(a)=0
即f'(x)(x-a)-[f(x)-f(a)]>0 a<x<=b. 证毕。

追问

帅哟

对了，顺便问一下，大学考试的证明题最后一定要写证毕 得证这样的字样吗？

追答

这个嘛，数学教材上是有的，写上的话，以示形式清晰，和后续无粘连。考试自然不用写……

追问

ok~

Answer 2

因f(x)在闭区间[a,b]上二阶可导，则原函数在[a,b]连续可导
根据积分中值定理 1/(b-a)∫(b,a)f(x)dx为积分在(a,b)的平均值 且函数在闭区间[a,b]连续。

我证不下去，因为这题根本就没写完

追问

啊？ 题目是完整的呀…

第四题

我的那个是图像法老师不让用