Question

直线L：y=mx+1与椭圆C：aX^2+y^2=2交与AB两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）

（1）当a=2时，求点P的轨迹方程
(2)记平行四边形OAPB的面积为S（a），若a，m满足a+2m^2=1，求证：2＜S（a）＜4

Answer 1

设OAPB的对角线相交于J点，设P(x,y)，A(x1,y1), B(x2,y2)。因为平行四边形的对角线互相平分，所以J既是OP的中点也是AB的中点。P=A+B-O=A+B，x=x1+x2, y=y1+y2。联立L与C的方程，消去y有(a+m^2)x^2 + 2mx - 1 = 0 于是x = x1+x2 = -2m/(a+m^2), y = mx+2 = 2a/(a+m^2)
(1)当a=2时，x=-2m/(2+m^2), y=4/(2+m^2)。于是m = 2x/y，4=y(2+m^2)=2y+4x^2/y，即
2x^2+y^2=2y 这就是m变动时（如果m不变，则点P没有所谓的轨迹），点P的轨迹方程。
(2) AB=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ) = sqrt(1+m^2) * sqrt( (x1+x2)^2 - 4 x1 x2 ) = 2 sqrt( (a+2m^2)*(1+m^2) ) / (a+m^2)
又O到AB的距离为1/sqrt(1+m^2) （可以借助L于坐标轴的两个交点来计算），所以若a，m满足a+2m^2=1，则∵a>0,∴m^2∈[0,1/2), 1-m^2∈(1/2,1], S(a)=AB*1/sqrt(1+m^2)=2/(a+m^2)=2/(1-m^2)∈[2,4) 跟题目要求证的结论稍有不同。
说明：题目的结论有误，因为m=0时，y=1为水平直线，A与B纵坐标也为1，所以AOB三点不共线，与P可以组成平行四边形，符合条件，此时a=1，S(a) = 2