Question

如图1，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．（1）求证

如图1，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．（1）求证：BE=BC；（2）如图2，∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN+DN=2AN．

Answer 1

（1）证明：∵BG⊥AP，AG=GE，
∴BG垂直平分线段AE，
∴AB=BE，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BE=BC；

（2）证明：连接CN，延长BN交CE于H．
自点D作DM⊥AN于M，

显然Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG，
∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，
∴CN=NE，△CEN是等腰三角形，
延长AE交DC延长线于F，则有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
A，B，C，D，N五点共圆，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]
Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，

2

DM=

2

AG=DN，

2

GN=BN，

2

AG+

2

GN=

2

AN=BN+DN．