Question

已知函数f(x)＝eax?(ax+a+1)，其中a≥-1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程

已知函数f(x)＝eax?(ax+a+1)，其中a≥-1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f(x)＝ex?(

1

x

+2)，f′(x)＝ex?(

1

x

+2?

1

x2

)．  …（2分）
由于f（1）=3e，f'（1）=2e，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2ex-y+e=0．  …（4分）
（Ⅱ）解：f′(x)＝aeax

(x+1)[(a+1)x?1]

x2

，x≠0．               …（6分）
①当a=-1时，令f'（x）=0，解得 x=-1．f（x）的单调递减区间为（-∞，-1）；单调递增区间为（-1，0），（0，+∞）．…（8分）
当a≠-1时，令f'（x）=0，解得 x=-1，或x＝

1

a+1

．
②当-1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），(

1

a+1

，+∞)；单调递增区间为（-1，0），(0，

1

a+1

)．                                             …（10分）
③当a=0时，f（x）为常值函数，不存在单调区间．       …（11分）
④当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（-1，0），(0，

1

a+1

)；单调递增区间为（-∞，-1），(

1

a+1

，+∞)．                      …（13分）