Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为e=(√3)/2，且过点（√3，1/2）

（1）求椭圆的方程
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆交于P,Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程。
第二问说说思路就可以了

Answer 1

解：
(1) 由已知，e = c/a = √3/2 ==> c = a√3/2
∴ b = a/2
将b = a/2，及点（√3，1/2）代入椭圆方程得：
3/a² + (1/4)/(a/2)² =1
解得：a = 2；
∴ b = a/2 =1，椭圆方程为
x² /4 + y² =1；
(2) 设P，Q坐标为：P(x1,y1), Q(x2, y2)，则P Q坐标满足方程组
y = kx + m --- ①
x² /4 + y² =1； --- ②
将①代入②整理得：
(k² +1/4)x² + 2kmx +(m²-1) = 0；
可得：x1 + x2 = 2km/(k² +1/4)；x1*x2 = (m²-1)/(k² +1/4)；
==> (x1- x2)² = (x1+x2)² -4x1*x2 =(4k²m²-4m²+4) /(k² +1/4)²；
==> |x1-x2| = 2√(k²m²-m²+1) /(k² +1/4)
从而：y1 + y2 = k(x1+x2) + 2m = m(4k² +1/2)/(k² +1/4)
∴ 菱形对角线交点坐标为：
x* = (x1 + x2)/2 = 4km/(4k² +1)
y* = (y1 + y2)/2 = m(8k² +1)/(4k² +1)
菱形对角线互相垂直，则另一条对角线斜率为-1/k, 过点(-1, 0),方程为：
y = (-1/k)(x+1) ==> x +ky +1 = 0
则(x*,y*) 是交点，也满足该方程，代入并整理得：
km(8k² + 5) + 4k² +1= 0 ==> m = -(4k² +1)/ [k(8k² + 5)]
直线y=kx + m在x轴截距 x0 = -m/k
SΔOPQ = 1/2 |x0|*|y1| + 1/2|x0|*|y2|
= 1/2 |x0|*|y1-y2|
= 1/2 |-m/k|*|k(x1-x2)|
= 1/2*|m|* 2√(k²m²-m²+1) /(k² +1/4)
= |m|*√(k²m²-m²+1) /(k² +1/4)
将 m = -(4k² +1)/ [k(8k² + 5)]代入可以计算三角形面积的极大值，确定k，进而确定m;
(算式太复杂了，算不下去了)